Les dattes à Dattier

[Dattier]

Ceci étant fait, je reprouve la façon du dattier de balancer plus de 20 pb(!!), ça devient le foutoir .

Même réponse qu'à Aviateur, j'ai aménagé le fil pour tenir compte du fait qu'il y était exposé plusieurs énigmes.

[MMu]

J'ai enfin compris : Dattier n'est qu'un descendant de David Hilbert, qui veut aller plus loin que les 23 problèmes de son illustre ancêtre ..

[Dattier]

N'empêche que c'est moyennement drôle, Hilbert n'avait qu'un seul fils, qu'il a laissé mourrir dans un asile.

[Dattier]

26 : système groupé résolue par GaBuZoMeu
Résoudre dans le groupe libre engendré par le système :
et

[Dattier]

27 : système groupé+
Résoudre dans le monoïde libre engendré par :
Avec des mots non vide.

[GaBuZoMeu]

26 : aucune solution, et ne sont pas conjugués.
27 : il existe un mot et des entiers naturels et tels que et (récurrence sur la somme des longueurs de et )

[Dattier]

26 : Bravo.

27 : oui, mais il manque des explications.
C'est quand même un résultat surprenant derrière la commutativité (dans un groupe libre) il y a un groupe cyclique.

[FLBP]

J'en essaie un :

14 : Polynôme et diviseur

Si le polynôme admet une racine en , on peut le réécrire de manière factorisée irréductible : .
Soit le produit , on peut le réécrire sous la forme .
Si le but est de déterminer si , un condition suffisante serait que : .
Les premiers cas triviaux sont quand ou , on se retrouve avec ;
Autres cas triviaux, quand a vaut , on trouve , pareil pour , (on ne s'occupe pas du signe).
Derniers cas triviaux, quand , où s'annule (tout entier non nul divise ).
Maintenant pour les valeurs extrêmes : ou , tout comme dans les cas triviaux les valeurs "extrêmes" des bornes donne le même résultat au signe près : alors on peut ne traiter qu'un "côté" .
Pour ne pas être dans un cas trivial, il faut que donc que divise , amusons-nous à diviser par et (pour rendre le résultat plus visible) on a . Par définition d'un coefficient binomiale on a que : donc divise .

[Dattier]

Pour la 14, il y a une implication de l'équivalence qui n'est pas vraie.

[perroquet]

Bonjour

14:

FLBP a montré que si P admet une racine entière, alors:
divise

Comme l'a annoncé Dattier, la réciproque est fausse.
Prendre en effet et:
multiple de

[Dattier]

Bonjour,

Bravo à vous 2.

Bonne journée.

[Dattier]

Bonjour,

28 : fonction polyvex
Un fonction réel définie sur est polyvexe ssi il existe un polynôme à 3 variables compatibles tel que :


est compatible si :

et si et .

Déterminer les fonctions polyvex de .

Bonne journée.

[perroquet]

Bonjour.

19:

J'ai trouvé un compact radin mais la description de celui-ci va prendre plus de 10 lignes ...

Description de la méthode :
Je vais construire un ensemble dénombrable dont tous les points sont isolés et tel que soit la réunion de et de l'ensemble de Cantor.

Rappels sur l'ensemble de Cantor:
L'ensemble de Cantor est l'ensemble des réels de [0,1] dont l'une des écritures en base 3 ne comporte que des 0 et des 2. Par exemple, est dans l'ensemble de Cantor puisque l'une de ses écritures en base 3 est 0,022222.... (l'autre étant 0,1).

Construction de :
Je m'intéresse aux éléments de l'ensemble de Cantor dont une des écritures en base 3 est où pour tout de , est égal à 0 ou 2 et où (je noterai un tel élément).
L'ensemble de ces éléments est dénombrable puisque ce sont tous des rationnels.
A chaque élément de cet ensemble, j'associe
Pour tout , est dénombrable et la réunion des est dénombrable comme réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.

Il ne reste plus qu'à démontrer que l'adhérence de est la réunion de l'ensemble de Cantor et de et que cette adhérence est effectivement un compact radin. C'est un peu fastidieux à écrire.

[Dattier]

Bonjour,

@Perroquet : Bravo.

Mais il y avait plus "simple", en prenant D l'ensemble des nombres décimaux ne contenant dans leurs développement décimale que les chiffres 1 et 2, D n'a que des points isolés.

Et l'adhérence de D contient tous les nombres n'étant formé que des chiffres 1 et 2 (en bijection avec le continu).

Bonne journée.

[perroquet]

18 :

Voici une définition qui convient.

Soit et deux sous-parties de . On dit qu'une application de dans est une vraie bijection de sur si et seulement si pour tout , il existe tel que et la restriction de à est une bijection de sur .

[Dattier]

Bravo.

[Dattier]

Salut,

29 : fonction convexe et inverse résolue par MMu
fonction réel inversible et convexe. A-t-on convexe ou concave ?

Cordialement.

[perroquet]

Bonjour

2 :

J'ai réussi à démontrer qu'un espace métrique est sigma-compact si et seulement si il admet un sous-ensemble dénombrable dense.

Condition nécessaire:
Supposons qu'un espace métrique est sigma-compact.
Alors, pour tout de , il existe un ensemble dénombrable inclus dans tel que soit la réunion des boules ouvertes lorsque décrit .

Il est facile de montrer que la réunion des est une partie dénombrable de dense dans .

Condition suffisante:
Supposons que admet une partie dense dénombrable .
Soit un recouvrement ouvert de .

Tout élément de appartient à un ouvert , qui contient donc une boule ouverte . Puisque est dense dans , la boule contient un élément de . La boule contient et est incluse dans donc dans .
NB; Lorsque appartient à , on choisit

Pour tout élément de , est non vide et admet une borne supérieure (éventuellement infinie). Si n'est pas dans , on considère une suite d'éléments de dont la limite est égale à . Si ce n'est pas le cas, on choisit .

Pour tout de , il existe dans tel que et . On notera .

La famille est une famille dénombrable d'ouverts extraite de la famille de départ. Et la réunion de cette famille est bien égale à . En effet, pour tout de , il existe tel que . Et

Ce qui termine la démonstration.

[perroquet]

Commentaire sur le 2:

Cela m'étonne que la propriété que j'ai démontrée ne se trouve pas dans la littérature mathématique. Un espace séparable, c'est bien connu ...

[perroquet]

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Merci à Dattier pour m'avoir communiqué son exemple de compact radin, bien plus clair que le mien.