Dattier a écrit:21 : Racine scindé Soient
.
est-il scindé dans
?
Mode bourrin : il suffit, pour montrer que
est scindé sur
, de montrer que le discriminant de
(par rapport à
) est positif ou nul. Ce discriminant, comme polynôme en
, est
Le discriminant de ce polynôme du troisième degré en
est
Puisque
est négatif ou nul quel que soit
,
a toujours deux racines complexes conjuguées, éventuellement confondues. L'autre racine de
est donc du signe du produit des racines qui est
, donc cette autre racine de
est négative ou nulle, quel que soit
(le cas
ne pose pas de problème). En conclusion,
est positif ou nul et
est scindé sur
pour tout
et tout
positif ou nul.