Suites adjacentes

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 12:22

Salut

Exercice classique sur les suites adjacentes... Mais comment savoir la limite commune des deux ??? :doh:

Ps : Si c'est niveau MP (la réponse à ma question) alors dans ce cas je me couche

par **Ben314** » 06 Déc 2010, 12:54

La limite commune aux deux est 'e' (la base de l'exponentielle).
Une façon simple de le montrer : utiliser une des formules de taylors (avec reste) à l'ordre n pour la fonction t->exp(t) entre 0 et 1.

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 12:56

Ben314 a écrit:La limite commune aux deux est 'e' (la base de l'exponentielle).
Une façon simple de le montrer : utiliser une des formules de taylors (avec reste) à l'ordre n pour la fonction t->exp(t) entre 0 et 1.

Merci Ben314... Faut que j'attende encore un peu pour les développements limitées :dodo:

par **Ben314** » 06 Déc 2010, 13:34

Pour un cas particulier simple comme là, tu peut le faire à la main complet en écrivant que :
e-1=int(exp(t),t=0..1)
puis tu fait des intégrations par parties en dérivant le exp(t) et en intégrant 1 qui devient t puis t²/2 puis...
Si tu le fait n fois, tu tombe à peu prés sur ce qu'il faut.

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 13:36

Ok pas de souci ça marche bien ça ^^

par **Nightmare** » 06 Déc 2010, 13:55

Salut !

Saurais-tu montrer, sans connaissance de l'exponentielle, que la suite

a la même limite que tes deux suites ?

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 14:10

Bien sur Nightmare !!! Tu pose X=1/n et tu tombes sur une limite qui vaut 1 (en exposant) soit e^1

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 14:15

Cela vient de la limite ln(X+1)/X

par **Nightmare** » 06 Déc 2010, 14:27

je me suis mal fait comprendre : indépendamment de savoir ce que vaut la limite de tes deux suites adjacentes et la mienne, pourrais-tu montrer néanmoins qu'elles ont toutes les trois la même limite? (C'est du même type que ton exercice quoi)

par **Ben314** » 06 Déc 2010, 16:16

Euler 07 a écrit:Ok pas de souci ça marche bien ça ^^

En fait, j'ai tapé "à la va vite" (vu que j'avais cours) et je sais pas si tu a réussi à rectifier : si tu veut utiliser Taylors (sans le savoir...) tu part de :

et tu fait une intégration par partie avec

;

mais il faut prendre

(et pas

comme je l'avais dit) puis tu recommence (en prenant

comme primitive de

...

La méthode suggérée par Nightmare fonctionne aussi, mais c'est un peu plus "taupinal"...

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 16:30

Nightmare a écrit:je me suis mal fait comprendre : indépendamment de savoir ce que vaut la limite de tes deux suites adjacentes et la mienne, pourrais-tu montrer néanmoins qu'elles ont toutes les trois la même limite? (C'est du même type que ton exercice quoi)

Hum... Dans ce cas on recommence à montrer que an et wn sont adjacentes puis bn et wn non ?

par **Nightmare** » 06 Déc 2010, 17:28

Bah, c'est pas vraiment possible d'avoir (an) et (wn) adjacentes en même temps que (bn) et (wn) étant donné que (an) et (bn) sont elles-même adjacentes !

Cela dit, (wn) n'est adjacente ni à (an) ni à (bn), ça n'empêche pas de pouvoir montrer qu'elles ont la même limite.

Edit : En fait, (wn) est bien adjacente à (bn), à prouver bien entendu !

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 17:35

Nightmare a écrit:Bah, c'est pas vraiment possible d'avoir (an) et (wn) adjacentes en même temps que (bn) et (wn) étant donné que (an) et (bn) sont elles-même adjacentes !

Cela dit, (wn) n'est adjacente ni à (an) ni à (bn), ça n'empêche pas de pouvoir montrer qu'elles ont la même limite.

Edit : En fait, (wn) est bien adjacente à (bn), à prouver bien entendu !

Explication ? Wn est bien adjacente à bn ?

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 17:36

Sinon je veux bien le prouvait

par **Nightmare** » 06 Déc 2010, 17:53

(un) est croissante et (vn) décroissante. Comment voudrais-tu que (wn) soit adjacente en même temps à (un) et à (vn) ? Il faudrait qu'elle soit en même temps décroissante (pour être adjacente à (un)) et croissante (pour être adjacente à (vn)).

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