Arbre des suites de Syracuse

[syrac]

Bonjour à tous,

On trouve sur le présent forum plusieurs sujets consacrés à la conjecture de Syracuse, qui continue de passionner. Le problème est que tout le monde s'est jusqu'à présent (et jusqu'à preuve du contraire) focalisé sur l'algorithme de Collatz, qui induit une différence de traitement entre entier pair et entier impair. Ceci m'a personnellement toujours gêné.

Jusqu'au jour, il y a environ deux mois, où l'idée m'est venue d'unifier les deux règles en une seule, valable à la fois pour les entiers pairs et les entiers impairs. Ceci m'a permis de "révéler" l'organisation des suites de Syracuse en arborescence, et de pouvoir ce faisant apporter une description extrêmement simple du problème. Apparemment je ne peux pas joindre un fichier à ce post, alors voici l'adresse du document Pdf dans lequel j'explique tout ceci :

Arbre des suites de Syracuse

Vous semble-t-il que ceci constitue la solution du problème, même si elle n'est pas celle à laquelle vous vous seriez attendu ?

Merci d'avance pour vos retours ! :lol3:

EDIT : voici le bloc-notes pour Mathematica qui contient toutes les fonctions nécessaires aux calculs, et dont le détail se trouve dans le 12ième message, ci-dessous :

Bloc-notes Syracuse pour Mathematica

[nodjim]

C'est drôle tout de même de présenter un document qui pourrait constituer "la solution du problème" alors que la conclusion de ce même document est:

"L’étude dont je viens de présenter les résultats ne constitue aucunement une tentative de confirmer la conjecture de Syracuse, ceci pour une raison qui semble évidente : le postulat sur lequel elle est fondée, à savoir que chaque trajectoire serait une entité indépendante terminant sa course en 1 , est erroné".

Qu'as tu voulu nous montrer alors ?

[syrac]

J'ai tout simplement voulu dire qu'on ne pouvait pas démontrer une hypothèse fausse. La solution que je propose se concentre uniquement sur la description de la structure de l'arbre, la conjecture de Syracuse n'étant de ce point de vue concevable que comme une interprétation de cette structure, mais dont la formulation est erronée.

EDIT : pardon, j'aurais dû dire "la conjecture de Syracuse n'étant de ce point de vue concevable que comme une interprétation erronée de cette structure".

[nodjim]

C'est encore moins clair pour moi ce que tu viens de dire...Vraiment, je ne le fais pas exprès. Quand tu dis "on ne peut pas démontrer une hypothèse fausse" je suis on ne peut plus d'accord avec toi, mais est ce que tu veux dire qu'on ne peut démontrer la fausseté de la conjecture ?

[syrac]

L'image qui me vient à l'esprit est celle de la voûte céleste : on peut l'interpréter comme une sphère entourant la Terre placée en son centre, ou considérer la Terre comme étant située à la périphérie d'une galaxie faisant partie de cet amas d'objets. Aucune des deux visions n'est essentiellement fausse, la première étant le résultat de la perception et la seconde celui de la connaissance.

Concernant la conjecture de Syracuse, aussi longtemps qu'on n'est pas conscient de la structure de l'arbre formé par les suites éponymes on peut la considérer comme une description valable du problème. Mais dès qu'on en est conscient elle n'en représente plus qu'une interprétation non conforme.

Ce qui, d'après moi bien sûr, est erroné dans la formulation de la conjecture, est la règle "n/2 si n est pair". Elle empêche de voir l'arborescence.

[nodjim]

Tu ne peux pas remettre en cause l'énoncé de la conjecture, mais bien sûr tu as le droit, l'obligation même sans doute,de le regarder autrement pour mieux la connaitre. Ce qui me chiffonne, c'est que tu ne sembles pas vouloir te prononcer. La description que tu fais des suites te permet elle de conclure:
1) qu'on ne peut pas avoir une suite qui tourne en boucle (autre que celle 1 4 2)
2) qu'il n'y pas de suite infiniment croissante.

[Doraki]

Y'a un théorème quelquepart ?

A part les éventuelles observations triviales du genre

x -> (3x+1)/2 c'est à conjugaison par x -> x+1 près, une multiplication par 3/2
les n premières étapes appliquées à un nombre x dépend de x mod 2^n (pour la bonne définition d'une étape)
à l'envers, les n premières étapes possibles appliquées à un nombre x dépendent de x mod 3^n (pour la bonne définition de ce qu'est une étape à l'envers)

[syrac]

@nodjim

Comme je le dis dans ce document, la structure de l'arbre, et notamment les "concentrateurs" que sont les groupes, interdit toute divergence des suites.

@Doraki

Excuses-moi mais je ne vois pas le rapport avec ma solution. Ce genre d'énoncé pullule dans la littérature sur la conjecture et n'a jamais donné aucun résultat. C'est justement à ça que j'ai voulu échapper.

[syrac]

@nodjim

Je t'ai fait une réponse rapide parce que je voulais regarder le programme d'Arte. Maintenant que j'ai plus de temps je vais répondre plus précisément à ta question.

Comme tu l'as compris, je tiens à me démarquer de la conjecture de Syracuse en tant que telle, c'est-à-dire de sa formulation. Ce qui m'intéresse est le problème qu'elle soulève, et uniquement lui. L'une des raisons de ceci est le fait que la racine de l'arbre est 2. Or, si tu calcules le successeur de 2 à l'aide de l'équation (1) tu trouves 2, puisque 2 = 2^1 (voir la première page de mon document, section "second cas particulier", tout en bas). Autrement dit, la racine de l'arbre étant son propre successeur il n'existe pas de cycle trivial (à moins que tu ne considères 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,... comme un cycle trivial). Le cycle trivial est un phénomène qui résulte directement de la formulation de la conjecture, pas de l'arbre auquel je m'intéresse. C'est pourquoi je n'ai rien à faire des questions soulevées par la conjecture.

Pour en revenir à la possibilité d'une suite divergente, essaie d'imaginer le delta d'un immense fleuve, tel que celui du Gange, qui possède des centaines, voire de milliers de bras. On peut dire que ces bras divergent puisqu'ils finissent pas s'étaler sur quelques centaines de km. Maintenant, construis autant de barrages que nécessaire pour réunir 10 bras et les renvoyer vers un seul cours d'eau, puis répètes l'opération en aval autant de fois que nécessaire pour réunir 10 de ces cours d'eau afin de les concentrer encore une fois vers un seul cours d'eau, et ainsi de suite jusqu'à la mer. Eh bien une fois arrivé là on peut imaginer qu'il n'en restera plus qu'un seul.

Les barrages qui réunissent les bras ou cours d'eau sont dans l'arbre de Syracuse les groupes formés d'entiers pairs dont chaque membre est le double de son prédécesseur, et qui concentrent vers un unique entier impair autant de suites que le groupe possède de membres, c'est-à-dire une infinité. Comme il existe autant de groupes que de nombres impairs je vois mal comment une suite pourrait s'échapper vers l'infini. L'arbre tout entier est constitué de tels concentrateurs.

Bien entendu, les septiques diront qu'on ne sait jamais, une suite pourrait braver les lois des mathématiques, échapper aux dizaines ou aux centaines de concentrateurs qu'elle rencontrerait sur son chemin, et prendre un chemin qui serait unique dans l'arbre. Bon, pourquoi pas ?

[nodjim]

"Bien entendu, les septiques diront qu'on ne sait jamais, une suite pourrait braver les lois des mathématiques, échapper aux dizaines ou aux centaines de concentrateurs qu'elle rencontrerait sur son chemin, et prendre un chemin qui serait unique dans l'arbre. Bon, pourquoi pas ?"

Ben oui, sinon de quoi on parle ?

[syrac]

Petit bémol : ce que j'ai dit plus haut, "C'est pourquoi je n'ai rien à faire des questions soulevées par la conjecture", est assez stupide. Au contraire, il me semble que si la solution que je propose répond à une question posée par la conjecture alors elle ne fera que renforcer sa validité.

[syrac]

Je suis conscient des problèmes que posent les calculs liés à la solution que je propose, et notamment l’extraction de l’exposant d’un facteur premier. Pour faciliter les choses aux utilisateurs de Mathematica je propose ci-dessous en téléchargement le bloc-notes zippé que j’ai créé dans ce logiciel (Syracuse.nb) et qui contient toutes les fonctions nécessaires (calcul d’une suite, tracé de l’arbre, génération aléatoire de feuilles, etc.) :

Bloc-notes Syracuse pour Mathematica

NB : ce bloc-notes a été créé dans Mathematica 9, mais je présume qu’il fonctionnera dans les versions antérieures. Après l’avoir ouvert vous devez cliquer sur Evaluation > Evaluate Notebook. Vous pouvez également lui attribuer le statut d’évaluable à l’ouverture en cliquant sur Cell > Cell properties > Evaluatable.

[fatal_error]

c'est un joli up...
mis à part, vu que tu sembles avoir passé du temps sur le document...

Tu pars déjà avec un truc dans le pied, parce que ya la foison de gens qui pensent avoir redécouvert l'univers, du coup crédit négatif sans qu'on ait même lu ton document.

Ensuite, j'ai ouvert le document, et ya un point qui m'a stopé direct:
on ne sait pas ou on va.
En particulier, qu'est-ce qu'on démontre à travers le document, je parle pas de la conclusion, mais des étapes intermédiaires.

Et enfin généralement, quand on sait pas ce que vaut un document, on le parcourt grossomodo, et ta conclusion est quand même douteuse.
Il manque le >donc<.

De manière générale, on sait pas à quoi tu réponds. Présenter un arbre c'est bien, mais c'est que de la modélisation, ca répond à rien. Donc si tu dis pas à quel problème répond ton arbre...
s'agit-il d'invalider la conjecture de collatz?
autre chose?

Si j'ai raté le détail, tu devrais songer à mieux l'expliciter... car je doute que les gens passent beaucoup de temps dans ton document...(à priori négatifs)

[syrac]

Ta réponse me fait penser à celle que j'ai reçue de la part d'un ponte dont je tairai le nom :

"Sur la forme, vous devez bien vous douter qu’il existe de par le monde une grande quantité d’amateurs enthousiastes sincèrement convaincus d’avoir résolu telle ou telle conjecture célèbre, en particulier celles concernant les nombres et qui ne nécessitent pas de bagage technique pour leur écriture. Je n’ai rien contre ces amateurs enthousiastes, bien au contraire, je trouve que c’est très bien, mais il faut quand même avoir conscience que dans l’immense majorité des cas, ils s’illusionnent sur leur travail. On compte sur les doigts d’une seule main les cas où un tel amateur a réellement prouvé quelque chose de nouveau, sur des millions peut-être. C’est pourquoi il est extrêmement difficile de réussir à vous faire lire par un professionnel : il ou elle a autre chose à faire et sait parfaitement que la probabilité de rater quelque chose de valable est réellement infime.

J’ai regardé votre document en diagonale. Il semble présenté de façon agréable (ce qui est très rarement le cas) et lisible (idem), donc peut-être pourrez-vous attirer quand même l’attention d’un professionnel. "

C'est là qu'est tout le problème. Il existe, et a existé, des théories mathématiques (ou autres) qui sont restées dans l'ombre pendant des années pour la simple raison que la mentalité du corps scientifique n'a guère évolué depuis l'époque où Rabelais se payait la tête des savants de la Sorbonne en dénonçant leurs certitudes, qu'il jugeait précaires. C'est d'ailleurs lui qui a écrit "Science sans conscience n'est que ruine de l'âme". Toute idée nouvelle est systématiquement suspectée, et ceci d'autant plus qu'elle n'émane pas d'un membre du sérail. Le paradigme, même s'il est stupide, est roi. J'ai vu dernièrement un documentaire sur les envahisseurs extraterrestres dans lequel un scientifique américain de haut niveau prétendait qu'ils viendraient chez nous pour nous voler nos arbres afin de fabriquer du bio-carburant. Comme si on traversait l'espace intergalactique avec un moteur à explosion ! D'autres scientifiques prétendent que les lignes de Nazca sont des pistes d'atterrissage pour extraterrestres, comme si, une nouvelle fois, ils traversaient l'espace avec des appareils munis d'ailes, comme nos bons vieux coucous ! Si un individu lambda proférait de telles conneries on le réduirait à aller se cacher dans un trou de souris, mais puisque ça vient d'un type du MIT...

La vérité est que personne, depuis 80 ans, n'est parvenu à de tels résultats pour ce qui concerne le problème 3n+1. Tout le monde s'est fourvoyé dans des notions telles que "durée et altitude de vol", jusqu'aux meilleurs mathématiciens, ce qui du reste n'a conduit nulle part. L'organisation en arborescence des suites de Syracuse est la manière la plus intelligente et la plus pertinente d'expliquer leur comportement. Si j'ai mis mon travail en ligne ce n'est pas pour pérorer mais pour que d'autres aient l'étincelle qui m'a manquée et le poursuivent. Si tu ne t'en sens pas capable ce n'est pas une raison pour en dissuader les autres.

[Doraki]

La vérité est que personne, depuis 80 ans, n'est parvenu à de tels résultats pour ce qui concerne le problème 3n+1.

quel genre de résultat ?

[nodjim]

Personnellement, je suis convaincu aujourd'hui qu'on n'arrivera jamais à une preuve.

1) Parce que si la suite 3n+1 n'a qu'une boucle, c'est juste un effet du hasard. En effet, en remplaçant 1 par a, a impair, on obtient soit plusieurs boucles (d'autant plus si a est non premier, et c'est facile à montrer) soit une seule (hormis le cas particulier pour n=a).

2) Si tous les algorithmes 3n+a tournent en boucle, c'est à dire ne s'élèvent pas à l'infini, c'est que la moyenne des divisions par 2 est plus forte que la multiplication par 3, et suit donc la loi de proba qui veut qu'un nombre pair pris au hasard sera en moyenne divisible 2 fois. Donc on arrive en fait à une suite géométrique de raison 3/4. Pour une suite 5n+1, on a bien des valeurs de n qui partent à l'infini.

3)Que l'algorithme, tel qu'il est conçu, ne permet pas de poser le problème à partir de généralités: Pour suivre le destin d'une suite, on est obligé de connaitre le nombre de départ. Existe t'il vraiment d'autres algorithmes conçus de cette façon et dont on pourrrait connaitre la limite ? j'en doute. La question posée à chaque étape se rapporte à l'objet lui même, sa parité, et à aucune autre valeur fixe. On ne peut rien construire ainsi.

Aussi, je le répète, je pense qu'on ne pourra jamais conclure.

[Doraki]

Pour une suite 5n+1, on a bien des valeurs de n qui partent à l'infini.

Si t'as 1 exemple de telle suite où tu peux prouver proprement qu'elle tend vers l'infini ça m'intéresse
(libre à toi de remplacer 5n+1 par des trucs plus grands comme 123456789n+987654321 si c'est trop dur)

[syrac]

quel genre de résultat ?

Eh bien ... comme je viens de le mentionner, montrer l'inanité de notions telles que la durée et l'altitude de vol, mais aussi celle du cycle trivial.

Bien sûr, il ne s'agit pas de la preuve que tous les adeptes du statu quo attendent, à savoir la démonstration qu'aucune suite ne diverge et qu'il n'existe pas d'autre cycle trivial que 4,2,1. Je le répète, l'arborescence constitue une approche différente du problème ; en conséquence il lui est impossible de prouver ce qui relève d'une approche différente. Se focaliser sur la formulation originelle de Collatz constitue à mes yeux une perte de temps, et ne mène nulle part. C'est cette formulation qui te conduit à dire "je pense qu'on ne pourra jamais conclure", car c'est elle la source du problème. Si tu ne vois pas ce que tu veux voir depuis la fenêtre de ta cuisine, regarde depuis celle de ta chambre.

[Doraki]

Eh bien ... comme je viens de le mentionner, montrer l'inanité de notions telles que la durée et l'altitude de vol, mais aussi celle du cycle trivial.

J'appelle pas ça un résultat mathématique, mais une opinion sur la manière dont est présentée la conjecture.

Ca sert à rien de regarder de ta chambre si tu ne vois rien de plus que ce que tu voyais de ta cuisine.

[syrac]

J'appelle pas ça un résultat mathématique, mais une opinion sur la manière dont est présentée la conjecture.

Exact ! C'est la base de toute réflexion. Lorsque tu comprends que l'angle sous lequel tu approches un problème ne donne aucun résultat, comme c'est le cas avec la conjecture de Syracuse depuis des décennies, tu t'efforces d'en changer. C'est ce qu'Einstein a fait avec la mécanique newtonienne : avant de pondre sa théorie de la relativité il a passé des années à réfléchir aux concepts d'observateur et de référentiel, aidé en cela par les réflexions de Galilée sur le même thème (problème du boulet lâché depuis le sommet du mât d'un navire en marche : va-t-il tomber au pied du mât ou à quelque distance en arrière ? Personne à l'époque ne voulait admettre la première solution, c'est-à-dire que le référentiel à considérer était le navire et non le monde).

Je ne vois pas en quoi la notion d'arborescence serait à nier. Lorsque tu parles de ton arbre généalogique tu ne t'attends pas à ce que quelqu'un rétorque qu'une de ses branches pourrait s'échapper. Tout phénomène donnant lieu à une arborescence constitue un arbre dont personne ne nie la validité, en informatique notamment. Alors pourquoi l'arborescence des suites de Syracuse est-elle si difficile à admettre ? N'y a-t-il pas une part de préjugé, voire de conditionnement, dans cette négation ?