Suites-parité

[rassan]

Bonjour
en étudiant la suite récurrente suivante :
U(0)=3
u(n+1)=(1/4)[(u(n))^2+6u(n)+1] pour n entier naturel
je me suis bloqué devant le fait de montrer que :
tous les termes de cette suite sont des nombres impairs
se terminant par 3 ou par 7?
cette suite n'est pas parvenue par hasard mais suite à une question
que je me suis posé et que je citerai plus tard pour enrichir le sujet.
Merci

[CBMaths_prof]

Bonjour,

Un nombre impair est un nombre qui s'écrit de la forme avec un entier relatif.

Il faut ensuite faire une démonstration par récurrence.

Pour montrer qu'ils se terminent tous par 3 ou par 7, il faut prendre le nombre modulo 10.

[Razes]

admet que est impaire, donc et démontrez que est impaire par récurrence.

Même chose démontrez par récurrence que si se termine par 3 alors se termine par 7 (et vice-versa)

[Razes]

Oublié un O "On admet"

[rassan]

merci beaucoup pour votre indulgence et votre patience . C'est la première fois que je participe
à un forum.
j'ai utilisé la démonstration par récurrence mais je bloque devant
u(n)= 2k+1 ............u(n+1)=(k+1)^2+1 impair ? comment ?

[rassan]

je vous remercie pour votre réponse .Je vous demande excuse si j'abuse un peu de votre
temps .
j'ai essayé comme vous l'avez signalé mais ça bloque
u(n)=2k+1 ..........> u(n+1) = (k+1)^2+1 dont la parité reste à démontrer!
peut etre j'ai mal vu !

[Razes]

Bonjour,
Effectivement, j'ai eu le même soucis:
Mais d'après ton énoncé, nous avons:
"tous les termes de cette suite sont des nombres impairs se terminant par 3 ou par 7?"

il n y a pas de saut de ligne (donc prendre directement à la récurrence en posant et démontrer que s'écrit sous la forme et vice versa et la parité est immédiate car ce n'est pas demandé de la démontrer à part).

[mathelot]

bonjour,
On démontre que
et

[Razes]

Pourquoi 20?

Laisse 10 car on est en base 10. et nous sommes intéressés par le chiffre unité qui doit être 3 ou 7.

[rassan]

bonjour
effectivement ,l'astuce "20" donne bien le résultat.
merci.

[rassan]

bonjour pour un texte plus lisible!
comme je l'ai déjà dit au début , la question de parité est venue au cours
de l'étude d'une suite que j'ai proposé et que je l'appellerai par la suite
suite de digischool1(dS1)qui est :
+"Somme des nombres impairs ;pour n entier naturel
En effet les termes de cette suite sont impairs (et qu'il fallait démontrer) et en supposons ainsi ,

qui est la formule que j'ai donné au début.
une autre suite de même nature
(dS2)"somme des nombres pairs "
pour celle ci il est facile de montrer que
et que tous ces termes() se terminent par 1
alors une autre question que je propose :
Est -il possible de ramener les termes de ces suites sous la forme ?

[rassan]

bonjour pour un texte plus lisible!
comme je l'ai déjà dit au début , la question de parité est venue au cours
de l'étude d'une suite que j'ai proposé et que je l'appellerai par la suite
suite de digischool1(dS1)qui est :
+"Somme des nombres impairs ;pour n entier naturel
En effet les termes de cette suite sont impairs (et qu'il fallait démontrer) et en supposons ainsi ,

qui est la formule que j'ai donné au début.
une autre suite de même nature
(dS2)"somme des nombres pairs "
pour celle ci il est facile de montrer que
et que tous ces termes() se terminent par 1
alors une autre question que je propose :
Est -il possible de ramener les termes de ces suites sous la forme ?

[Razes]

On peuT poser et chercher et afin que mais ceci n'a pas de solution, le seule format possible est

[Razes]

J'ai des doutes concernant l'expression en fonction de , car il faut distinguer les cas paire ou impair.

[Pseuda]

J'ai des doutes concernant l'expression en fonction de , car il faut distinguer les cas paire ou impair.

Bonjour,

De mémoire, l'expression de la 1ère suite est bonne : (j'avais vérifié lors du 1er message). De mémoire encore, il faut avoir préalablement démontré que les termes de la suite définie par : et sont impairs pour tout n, pour pouvoir utiliser une formule de récurrence.

[Razes]

Effectivement, tout est correct.

[rassan]

On peuT poser et chercher et afin que mais ceci n'a pas de solution, le seule format possible est

Bonjour
plutôt
mais cette forme 'pseudo linéaire est peu encourageante .
en fait les suites , sont abordables lorsque
dans notre cas

[rassan]

Bonjour
on peut montrer que pour
peut -on(savoir) conjecturer le nombre de termes impairs entre ?