Démonstration par l'absurde : mon avis... et le vôtre ?

[Nightmare]

Au contraire d'ailleurs, en général supposer l'existence de quelque chose offre beaucoup plus de possibilité que d'essayer de montrer directement que la chose est inexistente.

[leon1789]

La première est négative, pas la seconde (l'ensemble R-Q étant aussi respectable que Q, il n'y a rien de négatif à dire qu'un élément lui appartient).

Etant donné que ln(2)/ln(3) est un réel (puisqu'on parle de ln(2)/ln(3), c'est qu'il habite quelque part... dans R),
je ne vois pas de différence entre et .

Tout cela pour dire que le côté "négatif" d'une affirmation n'a pas de sens mathématique

bon, il faudra que j'emploie un autre qualificatif.

Dans l'autre message tu parlais de minorer et je vois pas qu'on puisse minorer par un truc indépendant de q (mais là je me trompe peut-être).
En tout cas ce n'est pas du tout la question qui est posée. L'ouverture que tu proposes est artificielle et repose sur ta culture qui dépasse de loin la question posée.

Quand on veut démontrer que deux quantités sont différentes f,g, on peut :
-- raisonner par l'absurde en supposant qu'elles sont égales ;
-- étudier leur différence et montrer qu'elle n'est pas nulle.
Les deux sont classiques.

Mets-toi à la place d'un élève de prépa par exemple à qui cette question est posée. Qu'il soit moyen ou excellent, il fera un raisonnement par l'absurde! Mais qu'il soit moyen ou excellent, il n'ira pas inventer la théorie de l'approximation diophantienne. A ce tarif là toute méthode est fermée.

Oui, il le fera ainsi, surtout s'il a vu tous ses profs le faire de cette manière...

Cela étant, je ne prends pas comme référence mathématique un élève de prépa (même si on n'a tous été un jour en bac+1/2) : un élève ne fait que subir ce qu'on lui a toujours dit ; un élève travaille en temps limité ; un élève (un prof aussi) a un programme cloisonné. Ce ne sont pas des conditions idéales pour...

[leon1789]

Au contraire d'ailleurs, en général supposer l'existence de quelque chose offre beaucoup plus de possibilité que d'essayer de montrer directement que la chose est inexistente.

Je vois deux cotés dans tout ça : "se débrouiller pour obtenir une preuve" et "dégager des conclusions d'une preuve".
Si une preuve par l'absurde peut aider dans le premier cas (pas de doute là dessus), une preuve sans contradiction sera évidemment plus précise pour le second point. Or, il me semble important de dégager des conclusions, d'où mon sentiment de preuve inachevée face à un raisonnement par l'absurde.

[Nightmare]

Je ne sais pas ce que tu appelles "branches théoriques non contradictoires" ou même "preuves non contradictoires" comme tu as pu l'employer précédemment, mais je crois que tu fais une très mauvaise utilisation de ce mot.

Pour ce qui est de "dégager des conclusions d'une preuve", tu oublies l'objectif principale d'une preuve, c'est de prouver... On ne dégage pas des conclusions d'une preuve, on en dégage de ce que la preuve prouve.

Par contre une preuve en elle-même peut des fois s'élargir à d'autres résultats que la propriété qu'elle prouve, mais que ce soit par l'absurde ou par une preuve directe, si ces résultats doivent apparaitre ils apparaitront.

[leon1789]

Il me semble que Wiles a démontré Fermat par l'absurde, et je crois que sa démonstration est tout sauf "close" à la vue des outils découverts et employés pour la construire.

Visiblement, on n'a pas en tête le même sens au mot "clos".

Pour moi, une démo est close lorsqu'elle a fait la preuve qu'elle mène à une contradiction, et que par suite, que les assertions qui la composent ont des valeurs de vérité inconnues : certaines sont fausses, d'autres sont peut-être vraies... Bref, elles ne sont pas réutilisables en l'état.
Et ce que je (me) propose à chaque fois, c'est d'essayer d'en dégager des assertions de vérité connue (pour être plus précis).
Je pense que bcp de matheux vont essayer de comprendre la preuve de Wiles (disons plutôt toutes les preuves de Wiles, dont celle concernant Fermat) et que certains auront le soucis d'affiner les résultats. Rien n'est terminé de ce coté-là, on est bien d'accord.

[leon1789]

Je ne sais pas ce que tu appelles "branches théoriques non contradictoires" ou même "preuves non contradictoires" comme tu as pu l'employer précédemment, mais je crois que tu fais une très mauvaise utilisation de ce mot.

Possible, mais je ne veux pas trop non plus utiliser l'expression "preuve directe".

Pour ce qui est de "dégager des conclusions d'une preuve", tu oublies l'objectif principale d'une preuve, c'est de prouver... On ne dégage pas des conclusions d'une preuve, on en dégage de ce que la preuve prouve.

Oui, et que démontre réellement une preuve par l'absurde ?
Il est clair qu'une preuve "directe" ne peut pas en démontrer moins, et que souvent celle-ci donne (si on veut bien les prendre) des petits résultats intermédiaires qui ne sont pas forcément sans intérêt (même si le prof ne le demande pas ). Mais cela dépend de la suite du travail...

Par contre une preuve en elle-même peut des fois s'élargir à d'autres résultats que la propriété qu'elle prouve, mais que ce soit par l'absurde ou par une preuve directe, si ces résultats doivent apparaitre ils apparaitront.

Je n'ai jamais repiqué directement des assertions établies dans une preuve par l'absurde pour les réemployer texto ailleurs. En revanche, je retravaille toujours une preuve par l'absurde pour en dégager "ce que je peux" (de peur d'en avoir besoin par la suite si je peux dire).

[Nightmare]

Le problème est que je pense tu te bornes aux preuves par l'absurde du même type que pour démontrer que est irrationnel. Ce genre de preuve est effectivement fermée et n'apporte rien (bien qu'elle marche), mais toutes les preuves par l'absurde ne sont pas ainsi. Il y a aussi des preuves directes qui n'apportent.

Je crois qu'on ne doit pas seulement distinguer preuve par l'absurde et preuve directe mais distinguer certaines preuves par l'absurde entre elles tout comme on doit distinguer certaines preuves directes entre elles.

Prenons l'exemple du théorème de d'Alembert Gauss dont il existe au moins 10 preuves. Certaines sont directes , certaines sont faites par l'absurde.

Nous sommes d'accord pour dire que la preuve par l'absurde utilisant Liouville n'apporte pas grand chose, elle est expéditive. La preuve d'analyse réelle est quand a elle très explicite (on sait même qui est ce fameux zéro qui annule notre polynôme).

Mais maintenant on prend la preuve directe par le théorème de l'application ouverte (une application analytique ouverte et propre est surjective) elle n'apporte rien non plus.
On prend la preuve par l'absurde utilisant le théorème de Rouché, elle permet en plus de démontrer le théorème fondamental, de localiser les racines du polynômes dans certains cas, une preuve donc forte intéressante.

Tout ça pour dire qu'il y a de mauvaises preuves directes comme il y a de mauvaises preuves par l'absurde et ab contrario il y a des bonnes preuves par l'absurde comme il y a des bonnes preuves directes !

[leon1789]

Mais maintenant on prend la preuve directe par le théorème de l'application ouverte (une application analytique ouverte et propre est surjective) elle n'apporte rien non plus.
On prend la preuve par l'absurde utilisant le théorème de Rouché, elle permet en plus de démontrer le théorème fondamental, de localiser les racines du polynômes dans certains cas, une preuve donc forte intéressante.

Je suis intéressé ! As-tu une référence (bouquin ou web) pour ces preuves stp ?

[Nightmare]

Euh bah ça doit se trouver en tapant sur google.

Jte mets les grandes lignes :

Preuve par l'application ouverte :

Un polynôme est analytique, propre et ouvert (trivial) donc surjectif (théorème). Le caractère ouvert du polynôme assure que l'image de est ouverte. A coup de points d'accumulations et de Bolzano-Weierstrass, on en arrive à montrer que l'image est aussi fermée et par connexité on en déduit que l'image est tout entier. Par surjectivité, le zéro est là

Preuve par Rouché :

Avec .
On a par exemple. D'après le théorème de Rouché, P et ont le même nombre de zéro dans le disque de rayon . Fini

[leon1789]

Merci :zen:

On prend la preuve par l'absurde utilisant le théorème de Rouché, elle permet en plus de démontrer le théorème fondamental, de localiser les racines du polynômes dans certains cas, une preuve donc forte intéressante.

Preuve par Rouché :
Avec
On a dès que par exemple. D'après le théorème de Rouché, P et ont le même nombre de zéro dans le disque de rayon . Fini

Cela permet de constater que le théorème de Rouché est bcp plus fort que le théorème fondamental.
Mais où vois-tu une preuve par l'absurde du théorème fondamental ?

[Nightmare]

Euh oui je devais être fatigué hier quand j'ai dit que la preuve par Rouché était par l'absurde.

[leon1789]

une preuve par l'absurde est "close" par rapport à une preuve non contradictoire. Es-tu d'accord sur ce fait ?

Ben justement, je suis pas convaincu.

Je reprends ce simple exemple :

Soit la suite Un définie par et .
1} Montrer que Un est (strictement) négative

2} Montrer que Un est (strictement) décroissante

3} En déduire que Un tend vers -oo

Réponse à 1} : par récurrence []

Réponse à 2} : donc, pour tout n,

Réponse à 3} : grâce à la preuve qui précède, on sait que pour tout n : c'est dans une preuve "directe", donc c'est vrai et réutilisable ! Il est alors évident que Un tend vers -oo : à U0, si on retire 5 (ou davantage) une infinité de fois, il ne reste pas grand chose...


Par ailleurs, si on démontre par l'absurde la réponse à 2} (par exemple, en imaginant pour un certain n), on est obligé de faire un raisonnement plus important pour répondre à 3}.

Voilà clairement un des bénéfices possibles d'une preuve "directe" par rapport à une preuve par l'absurde.

[Nightmare]

Ton raisonnement pour la 3) est bon mais il y a quand même des lignes à écrire, le blabla doit se transformer, au final on a autant de ligne à écrire en écrivant un raisonnement direct ou en écrivant un raisonnement par l'absurde qui consiste juste à utiliser la continuité de la fonction. Qui plus est la méthode du point fixe donne les points attractifs et répulsif, que ta méthode ne donne pas !

[leon1789]

Ton raisonnement pour la 3) est bon mais il y a quand même des lignes à écrire, le blabla doit se transformer, au final on a autant de ligne à écrire en écrivant un raisonnement direct ou en écrivant un raisonnement par l'absurde qui consiste juste à utiliser la continuité de la fonction. Qui plus est la méthode du point fixe donne les points attractifs et répulsif, que ta méthode ne donne pas !

Dans un raisonnement "direct", il n'est pas interdit d'utiliser la continuité d'une fonction ou une méthode de fixe si on en ressent le besoin. (mais bon, tout cela me paraît, à titre personnel, plus savant que retirer n fois le nombre 5 à u0)

En revanche, et c'est ce que je voulais illustrer, on peut piocher sans soucis dans une preuve directe des résultats intermédiaires qui n'avaient pas été alors retenus dans la conclusion. Piocher des assertions dans une preuve par l'absurde, c'est assez contre-indiqué... (c'est possible, mais pour cela, il faut retravailler cette preuve par l'absurde justement.)

[leon1789]

Il y a quelques jours, Zweig répondait à cette question :

On considère deux entiers positifs a,b tels que ab+1 divise a²+b² . Il faut montrer que dans ce cas le quotient est forcément un carré parfait.
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/305858-une-question-darithmetique-difficile.html

La réponse de Zweig est une preuve par l'absurde assez astucieuse (via "Viète Jumping"). La voici rapidement.

On fixe un entier k tel que n'est pas vide.
Maintenant, on suppose que k n'est pas un carré parfait.
Soit minimum pour la somme a+b.
Quitte à échanger A et B, on peut supposer (B n'est pas nul car k n'est pas carré).
On regarde l'équation en x suivante :
c'est-à-dire x² -kB.x + B²-k = 0
On sait que A est une solution, donc il en existe une seconde qui s'écrit .
On démontre alors que est un entier, qui ne peut pas être nul, ne peut pas être négatif, et ne peut pas être positif ! Absurde.

[Le Viète Jumping consiste à passer de A à ...]

Question : "On sait que k est un carré parfait, mais peut-on illustrer tout cela sur un exemple concret ? :id:"

La réponse est "Non, pas en cet état de démonstration ! Par nature même, une preuve par l'absurde empêche toute mise en pratique de la démonstration. :triste: "


Dès lors, il y a deux philosophies possibles. Chacun est libre de choisir celle qui l'intéresse le plus, mais de toute manière, on est obligé de choisir, qu'on le veuille ou pas, qu'on en soit conscient ou pas, tout le monde fait son choix : celui de ne pas donner d'exemple, ou donner des exemples.. Imaginez des maths sans exemple... Personnellement, je fais le choix inverse !


Ici encore, il est facile de détordre cette "preuve par l'absurde avec choix d'un élément minimal qui..." en une preuve par récurrence. Cette preuve par récurrence met à jour une méthode de calcul de la racine carrée de par des calculs affines.

On fixe un entier k tel que n'est pas vide.
Soit : aucune hypothèse ni sur k, ni sur (A,B) !

Quitte à échanger A et B, on peut supposer .
- Si B=0 alors A²=k et c'est terminé.
- Si B>0 alors on regarde l'équation en x suivante :
c'est-à-dire x² -kB.x + B²-k = 0
On sait que A est une solution, donc il en existe une seconde qui s'écrit .
On démontre alors que est un entier naturel tel que . On applique l'hypothèse de récurrence à (x,B), remplaçant le couple (A,B).

Intérêt de cette preuve : à partir d'une situation , elle permet de calculer la racine carrée de k à l'aide d'opération affine .
On voit même que k = pgcd(a,b)², résultat pas énoncé initialement.
Et inversement, en partant d'un couple , elle permet aussi de construire plein de couples (A,B) non triviaux tels que :
, , , , ...
:zen:

[leon1789]

http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=575498&postcount=18

Lemme :

Soit une racine de avec l'écriture en base d'un entier naturel alors .

Or pour tout indice , et donc :

Mais d'autre part :

Donc soit : contradiction .

Imod

En voulant réécrire sans absurde la preuve d'Imod, on retombe sur l'énoncé un poil plus précis de Jean-Jack :

le lemme suivant peut aider :
Toute racine complexe de f a soit une partie réelle négative, soit un module plus petit que (1 + rac(4b-3))/2

Il arrive de temps en temps que ce genre de situation où remanier une preuve par l'absurde en une preuve directe permet de "choper un poil de plus".

[leon1789]

Toujours dans la même discussion http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=89102&page=1&pp=10, je trouve assez intéressant la manière dont les résultats sont menés jusqu'au bout :
Jean-Jack énonce des résultats,
imod, ffpower les prouvent astucieusement (:++:) par l'absurde,
puis on peut en une petite étape supplémentaire améliorer sensiblement les choses : preuves plus directes, résultats plus généraux.

Pourquoi dire que cette dernière étape est inutile ? ...même si cela fonctionne 1 fois sur 10, pourquoi s'en priver ?

C'est un peu comme si un informaticien disait : >

[ffpower]

Bon,je vais tenter de me défendre:dans la demo,si je note ,si on n utilise pas l absurde il faut etudier les inégalités



ce qui demande donc de faire des études de fonction et de résoudre des équations compliquees(bon a part la 1ere..). Et comme mon but était de faire la preuve la plus courte possible pour la rendre lisible,le recours de l absurde semblait bienvenu..

[leon1789]

Et comme mon but était de faire la preuve la plus courte possible pour la rendre lisible, le recours de l'absurde semblait bienvenu..

Bon là, je suis d'accord avec toi.

[fatal_error]

C'est un peu comme si un informaticien disait : >
__________________

normalement ca donne pas un résultat, mais le résultat, mais s'il est donné, il n'y a pas lieu d'aller chercher plus loin.
Enfin bon, je pinaille, a raison ou a tord (vu lheure et les grammes), et puis de toute façon je suis d'accord avec toi, si on peut trouver des résultats plus généraux quand on passe pas par labsurde squand même mieux (ok javoue j'ai jamais rien trouvé XD).