Démonstration par l'absurde : mon avis... et le vôtre ?

[leon1789]

Je n'ai pas lu tous les posts de la discution (23 pages...)

Personne ne t'en voudra :ptdr:

Une des choses qui me gène (psychologiquement) le plus dans les preuves par l'absurde, c'est le fait que les étudiants en sont "friands" et qu'ils les utilisent très (trop) souvent.

Dire qu'il ne faut jamais faire de raisonnement par l'absurde est exagéré, certes, mais il me semble aussi que l'on en fait bcp bcp trop, pour un oui ou pour un non.

Je me suis souvent demandé si cela ne venait pas du fait que, dès la première erreur de calcul ou de raisonnement, on tombe sur une contradiction et ... c'est gagné puisque c'est ce que l'on voulais avoir.

Je ne pense que ce soit l'explication, bien que cela soit effectivement un piège de ce raisonnement.
Je pense plutôt que ce sont les livres, et les enseignants qui les utilisent, qui présentent trop de raisonnements par l'absurde. La manière dont chacun construit des preuves dépend (à mon avis) beaucoup des démos abordées lors de sa formation. Les habitudes des profs deviennent les habitudes de leurs élèves.

La deuxième chose, (plus sérieusement), est évidement le fait que, dans une preuve par l'absurde, on a pas vraiment de support de raisonnement, je pense en particulier à la géométrie : quel dessin faire dans une preuve par l'absurde ?

Je suis bien d'accord. Illustrer une preuve par un exemple parlant est faisable (souhaitable) avec une preuve non contradictoire. Mais un exemple illustrant une preuve par l'absurde paraît effectivement difficile.

[Ben314]

Bon, pour le programme de SUDOKU, ça fait 1/4 d'heure que je cherche comment le mettre dans un post :

En tapant "fichier" dans les FAQ, j'ai une page expliquant comment insérer une pièce jointe, mais j'ai l'impression que ce n'est pas à jour (je ne vois nulle part de lien [Gérer les pièces jointes] ...

Je me demande s'il ne faut pas que je mette le fichier dans un "hébergeur gratuit" et j'en ait cherché sous google, mais j'ai pas trés bien compris les modalités d'inscription...

HELP !!!

P.S. j'ai aussi trouvé le "Pièces jointes" dans mon tableau de bord, qui me dit que.... je n'ais aucune pièces jointes...

[bombastus]

Je me demande s'il ne faut pas que je mette le fichier dans un "hébergeur gratuit" et j'en ait cherché sous google, mais j'ai pas trés bien compris les modalités d'inscription...

Un hébergeur facile à utiliser sans inscription :
http://www.megaupload.com/?

Tu cherches ton fichiers dans naviguer, tu fais envoyer et tu colles le lien obtenu après transfert dans le forum.

[leon1789]

Pas de problèmes...

Ca m'intéresse également!

ok :zen: la discussion sur le sudoku se poursuit ici http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=98978

[beagle]

Je n'ai pas non plus tout lu, mais ce fil est intéressant.
je l'ai lu parce que la démonstration par l'absurde m' a toujours beaucoup plu, j'aime beaucoup.Donc je ne vais pas aller dans ton sens Leon.
Il y a néanmoins différents items qui reviennent dans ce que j' ai lu, et donc peut-ètre faut-il bien séparer ce que tu veux démontrer.Sur ce que j'ai vu:

1) Il y a un problème pédagogique.et là tu nous montres que les démonstrations par l'absurde sont peu ou moins structurantes que les démonstrations directes.
Conclusion, un enseignant devrait favoriser les démonstrations directes.
Qu'il s'agisse de pédagogie frontale, et donc de ce qu'il va apporter directement, ou qu'il s'agisse de pédagogie plus constructiviste et donc dans le choix des exos.
Sur ce plan je ne vois pas le problème, enfin je ne vois pas de raisons d'ètre en désaccord.A chacun de voir ce qui apporte le plus et comment l'amener, à la profession entière des enseignants de discuter pourquoi il serait préférable d'aborder telle ou telle notion plutot de telle ou telle façon.

Ceci étant, le génant dans ta démonstration est sa généralisation.C'est bon au niveau individuel, au niveau moyenne, cela ne peut ètre une théorie générale.Notamment peuvent ètre structurant non pas ce qu'est une chose, mais aussi tout ce qu'elle n'est pas.Tout ce qu'elle ne peut pas ètre sinon, QS absurde.Il est étonnant que tu ne trouves pas de cas où la négation apporte quelque chose, ilest étonnant de ne pas trouver d'exemples pédagogiques ou les deux ensembles sont nécessaires, ce que je suis, et ce que je ne suis pas.

2)la démonstration par l'absurde est acceptable comme brouillon,
elle ne devrait pas ètre autant employée par les élèves (a suivre)

[beagle]

2)la démonstration par l'absurde est acceptable comme brouillon,
elle ne devrait pas ètre autant employée par les élèves.
Alors là cela me souffle.
je suis confronté à un problème que je me pose, ou bien que scolairement on me pose.
la meilleure manière de répondre est celle qui apporte une réponse.
Si par l'absurde j'ai la réponse en trois lignes, contre vingt en direct, basta, c'est par l'absurde qu'il faut faire.
En tant que problème à résoudre, confronté à une question,
j'apporte une réponse, basta.

Que l'on puisse aller plus loin dans la compréhension du problème, c'est bien.
Mais il appartient à l'individu de savoir s'il doit continuer à approfondir ou non.
S'agissant d'un exo qui répond à la question b) de la grande question 1),
basta, on passe à la petit c) de 1).
C'est non seulement compréhensible, mais c'est également conseillé.c'est le principe de réalité.

Donc, non, la démonstration par l'absurde n'est pas un brouillon.
Comme le dit Ben plus haut, je ne vois de différence entre A implique A1 qui implique A2 qui arrive à B.
Et A qui arrive quelque chose de faux donc j'ai pas A.
Je ne vois pas le soucis.
Bon, je n'ai pas la culture mathématique des intervenants de ce fil non plus.
Considérons que je suis ici par plaisir des maths.
Donc peuvent m'échapper des trucs.

[Doraki]

beagle, très souvent, une preuve directe fait autant de ligne que la preuve par l'absurde (je crois que leon a donné suffisamment d'exemples déjà).

Et puis j'aime bien l'argument de ben qui dit que si on se gourre dans une preuve directe, on arrive à rien ; mais si on se gourre dans une preuve par l'absurde, on a gagné. Le raisonnement par l'absurde devient donc plus dangereux si l'élève ne prend pas un tout petit peu de temps pour analyser sa preuve.

[beagle]

Ben:
"La deuxième chose, (plus sérieusement), est évidement le fait que, dans une preuve par l'absurde, on a pas vraiment de support de raisonnement, je pense en particulier à la géométrie : quel dessin faire dans une preuve par l'absurde ? Je pense que Math.=Intuition+Formalisme et le coté Intuition dans les preuves par l'absurde..."

je ne comprends pas bien ce passage Ben.
je dois mal interpréter.Tu peux développer?
Pas de raisonnement par l'absurde en géométrie?
Pas d'intuition dans le raisonnement par l'absurde?

[beagle]

beagle, très souvent, une preuve directe fait autant de ligne que la preuve par l'absurde (je crois que leon a donné suffisamment d'exemples déjà).

Et puis j'aime bien l'argument de ben qui dit que si on se gourre dans une preuve directe, on arrive à rien ; mais si on se gourre dans une preuve par l'absurde, on a gagné. Le raisonnement par l'absurde devient donc plus dangereux si l'élève ne prend pas un tout petit peu de temps pour analyser sa preuve.

Bonjour Doraki,
je comprends cet argument, mais je m'en tape complètement.
Une chose n'est pas à rejeter car plus dangereuse.
A chacun de voir, si j'ai la soluce rapidos par l'absurde mais que c'est plus dangereux, j'emprunte le chemin que je veux.
Peut-ètre que je ne vois pas les ravages sur des calculs de plusieurs pages effectivement.

Le problème n'est pas seulement le nombre de ligne d'une démonstration,
mais c'est aussi la rapidité à accoucher de ces lignes.
Pour un étudiant si démonstration par l'absurde fait dix lignes, en 20 mn de recherches, c'est mieux que 9 lignes de direct trouvées en 1 heure ou mème en trois jours.
S'agissant de ce qu'on demande aux élèves montre en main.

S'il s'agit de bosser pour soi, à la maison, on retombe sur la valeur pédagogique et je suis d'accord.Donc habituer le élèves à ce travail, ce retravail de repasser de absurde au direct, oui,
c'est sans doute un truc que les enseignants doivent faire passer aux élèves.

[leon1789]

Je n'ai pas non plus tout lu, mais ce fil est intéressant.
je l'ai lu parce que la démonstration par l'absurde m' a toujours beaucoup plu, j'aime beaucoup. Donc je ne vais pas aller dans ton sens Leon.

Cette discussion est là justement pour que chacun expose son opinion (d'ordre logique, pédagogique, psychologique, ...)

Notamment peuvent ètre structurant non pas ce qu'est une chose, mais aussi tout ce qu'elle n'est pas.Tout ce qu'elle ne peut pas ètre sinon, QS absurde.Il est étonnant que tu ne trouves pas de cas où la négation apporte quelque chose, ilest étonnant de ne pas trouver d'exemples pédagogiques ou les deux ensembles sont nécessaires, ce que je suis, et ce que je ne suis pas.

Oui, il existe des résultats qui sont de nature négative. Mais Je ne pense pas que vouloir démontrer un résultat négatif impose un raisonnement par l'absurde.

[leon1789]

2)la démonstration par l'absurde est acceptable comme brouillon,
elle ne devrait pas ètre autant employée par les élèves.
Alors là cela me souffle.
je suis confronté à un problème que je me pose, ou bien que scolairement on me pose.
la meilleure manière de répondre est celle qui apporte une réponse.
Si par l'absurde j'ai la réponse en trois lignes, contre vingt en direct, basta, c'est par l'absurde qu'il faut faire.
En tant que problème à résoudre, confronté à une question,
j'apporte une réponse, basta.

>
Bizarre comme phrase car il peut y avoir plusieurs réponses possibles (j'entends par "réponse" une preuve à un théorème par exemple).

Par ailleurs, certaines preuves apportent davantage de précisions que d'autres. La longueur d'une preuve est-elle la seule mesure de qualité ? Ne peut-on pas prendre la précision du résultat comme une qualité également ? Ou le nombre d'axiomes nécessaires pour valider la preuve ? etc.

Certes, trois lignes contre vingt, c'est impressionnant d'efficacité. Seulement, j'attends un tel exemple. Souvent (pas toujours évidemment), je constate plutôt le contraire : une preuve par l'absurde contient en ses propres lignes une preuve directe.

Que l'on puisse aller plus loin dans la compréhension du problème, c'est bien.
Mais il appartient à l'individu de savoir s'il doit continuer à approfondir ou non.

Quand a-t-on suffisamment de recul pour savoir qu'il n'est pas nécessaire d'approfondir ? Se contenter du minimum est-il un bon "dogme" scientifique ?

[beagle]

1)Cette discussion est là justement pour que chacun expose son opinion (d'ordre logique, pédagogique, psychologique, ...)


2)Oui, il existe des résultats qui sont de nature négative. Mais Je ne pense pas que vouloir démontrer un résultat négatif impose un raisonnement par l'absurde.

1)oui, j'apprécie ton fil en particulier pour l'aspect pédagogique.
J'étais venu à l'origine sur ce site pour apprendre du pédagogique.
sur ce point je redis ma déception,
alors je t'applaudis de parler pédagogie.

2)oui, mais dans une des discussions antérieures tu as pris cet argument,
je ne faisais que te le retourner.

Ensuite, il y a la démonstration,
et il y a le temps précédent de la recherche,
or il est très formateur de se placer dans les exos aux extrèmes du problème,
et une des extrémités d'un problème est mais si ce n'était pas vrai ce que je dois démontrer, je vais essayer que cela soit faux, et de voir ainsi les contraintes,
dès lors ayant débuté l'analyse par l'absurde, si la rédaction du problème coule aussi de source par l'absurde, basta,...
cette gymnastique mentale qui manipule le problème me semble saine.
Et elle visualise le problème par ce qu'il ne peut pas ètre, cela aide bien à structurer ce qui est.En géométrie c'est très net, c'est bien pourquoi je suis curieux de lire la réponse de Ben.

[beagle]

>
Bizarre comme phrase car il peut y avoir plusieurs réponses possibles (j'entends par "réponse" une preuve à un théorème par exemple).

Par ailleurs, certaines preuves apportent davantage de précisions que d'autres. La longueur d'une preuve est-elle la seule mesure de qualité ? Ne peut-on pas prendre la précision du résultat comme une qualité également ? Ou le nombre d'axiomes nécessaires pour valider la preuve ? etc.

Certes, trois lignes contre vingt, c'est impressionnant d'efficacité. Seulement, j'attends un tel exemple. Souvent (pas toujours évidemment), je constate plutôt le contraire : une preuve par l'absurde contient en ses propres lignes une preuve directe.


Quand a-t-on suffisamment de recul pour savoir qu'il n'est pas nécessaire d'approfondir ? Se contenter du minimum est-il un bon "dogme" scientifique ?

Je te refais ma division entre répondre à un exo et apprendre-se cultiver en maths.
Face à un exo, on me demande un truc, je réponds à la question, basta.
Si les exos de maths deviennent de la philo où il faut étaler tout ce qui a été vu par l'apprenant, cela change la matière.Je n'ai jamais été à ce niveau en maths.
S'il s'agit d'apprendre, se forger son apprentissage, alors ce sont tous les éclairages possibles qu'il faut relier, alors là oui, il faut le maximum,
et là tu as peut-ètre, sans doute raison,
est-ce le travail que fait l'élève?
Et si ce n'est pas le cas, pourquoi?
-parce qu'on ne l'a pas habitué, OK c'est tout bon pour toi
-parce que le programme défile, se déroule, vite , vite on veut la quantité,
l'étudiant là devient moins en cause
-parce que l'étudiant à d'autres choses à faire,
ben c'est pas bien mon garçon ...

[leon1789]

Le problème n'est pas seulement le nombre de lignes d'une démonstration,
mais c'est aussi la rapidité à accoucher de ces lignes.

Je suis d'accord avec toi : quand on travaille montre en main, on prend ce qu'il vient le plus vite, on ne fait dans le détail et la fine bouche. Mais ce n'est pas le jour d'un examen ou d'un concours qu'on fait son apprentissage.

Quand on écrit un cours, un livre, on a beaucoup de temps. Personnellement, j'ai tout mon temps et ce que je vise, c'est de maximiser les quelques résultats que j'arrive à établir tant bien que mal. Passer une preuve par l'absurde en une preuve directe, c'est un moyen d'essayer d'améliorer le résultat (et cela est d'autant plus vrai que la preuve par l'absurde est longue).

Par exemple (petit exemple à peine significatif), hier il y avait un exo où on demander de démontrer qu'un nombre N n'était pas premier. Ok, on peut faire rapidement une preuve par l'absurde, et on stope le chronomètre. Terminé !
Personnellement, je reprends la démo (cela demande un temps supplémentaire, certes) de manière à en faire une preuve non contradictoire, et finalement on montre que N est multiple de 3. En terme de lignes, la démo directe de "N multiple de 3" n'est pas plus longue que le raisonnement par l'absurde de "N n'est pas premier". Il m'a fallu un peu plus de temps pour écrire la preuve directe de "N multiple de 3", mais c'est pourtant celle-ci que je retiendrai à l'avenir. C'est ce qu'on pourrait appeler un investissement.

S'il s'agit de bosser pour soi, à la maison, on retombe sur la valeur pédagogique et je suis d'accord.Donc habituer le élèves à ce travail, ce retravail de repasser de absurde au direct, oui,
c'est sans doute un truc que les enseignants doivent faire passer aux élèves.

ok :id:

[beagle]

m'a gouré de copié collé, c'était:
"Quand on écrit un cours, un livre, on a beaucoup de temps. Personnellement, j'ai tout mon temps et ce que je vise, c'est de maximiser les quelques résultats que j'arrive à établir tant bien que mal. Passer une preuve par l'absurde en une preuve directe, c'est un moyen d'essayer d'améliorer le résultat (et cela est d'autant plus vrai que la preuve par l'absurde est longue). "

OK, il me semble mieux comprendre ta démarche,
qui est celle de l'enseignant,
et qui critique à ce titre certaines approches "faciles" moins structurantes,
dans les livres, dans les cours,
là où on attend de la matière.
Je suis effectivement incapable de juger, apprécier cet élément.
mais tu sembles tout à fait convaincant.

Et si cela retenti sur la formation, sur les capacités d'auto-apprentissage des élèves, tu as raison de soulever l'affaire ainsi.

Psychologiquement, en première approche, je t'ai vu comme adversaire du raisonnement par l'absurde que j'ai toujours bien aimé,...

Bon, je vais relire les pages précédentes.
mais certains exemples me passent au-dessus de la tète malheureusement.

[leon1789]

Oui, il existe des résultats qui sont de nature négative. Mais Je ne pense pas que vouloir démontrer un résultat négatif impose un raisonnement par l'absurde.

2)oui, mais dans une des discussions antérieures tu as pris cet argument,
je ne faisais que te le retourner.

Je ne serai pas à une contraction près (:ptdr:), mais es-tu certain que je ne disais pas qu'une preuve par l'absurde apporte toujours un résultat négatif (dans ce sens, en pas dans le sens inverse).

[leon1789]

Je te refais ma division entre répondre à un exo et apprendre-se cultiver en maths.

Nous sommes d'accord sur ce point. Je ne blâme pas les élèves à qui ont ne donne qu'un temps limité pour apprendre et répondre aux questions.

[beagle]

Je ne serai pas à une contraction près (:ptdr:), mais es-tu certain que je ne disais pas qu'une preuve par l'absurde apporte toujours un résultat négatif (dans ce sens, en pas dans le sens inverse).

oui, je me suis peut-ètre emmélé, je sais plus.
Mais si un élément négatif est structurant également,
qu'il soit apporté en direct ou par l'absurde, quelle différence?
ceci n'est pas, parce que ci cela était alors cela casserait là ...

[leon1789]

Psychologiquement, en première approche, je t'ai vu comme adversaire du raisonnement par l'absurde que j'ai toujours bien aimé,...

Disons que je suis adversaire de "se satisfaire d'un raisonnement par l'absurde comme preuve définitive" (dans des conditions normales de réflexions, ie. pas de soucis de temps).

[leon1789]

oui, je me suis peut-ètre emmélé, je sais plus.
Mais si un élément négatif est structurant également,
qu'il soit apporté en direct ou par l'absurde, quelle différence?
ceci n'est pas, parce que si cela était alors cela casserait là ...

D'un point de vue uniquement axiomatique, les intuitionnistes acceptent très bien une réduction à l'absurde comme tu viens d'écrire > Ce que les intuitionnistes refusent, c'est le détour par l'absurde >

Personnellement, je n'aime pas me contenter de ces deux types de raisonnements par l'absurde. De manière générale, j'essaie toujours de repousser le plus loin possible le moment où je vais faire une hypothèse supplémentaire, surtout une hypothèse provoquant une contradiction.