Démonstration par l'absurde : mon avis... et le vôtre ?

[Ben314]

Ben:
"La deuxième chose, (plus sérieusement), est évidement le fait que, dans une preuve par l'absurde, on a pas vraiment de support de raisonnement, je pense en particulier à la géométrie : quel dessin faire dans une preuve par l'absurde ? Je pense que Math.=Intuition+Formalisme et le coté Intuition dans les preuves par l'absurde..."

je ne comprends pas bien ce passage Ben.
je dois mal interpréter.Tu peux développer?
Pas de raisonnement par l'absurde en géométrie?
Pas d'intuition dans le raisonnement par l'absurde?

Je commence pas (re)dire ce qui me vient à l'esprit en premier concernant la "preuve par l'absurde" : les tables de vérité sont les mêmes donc, pour moi, du point de vue "logique pure", il n'y a pas de débat.
Sauf que quand je fait une preuve (ou que je la lis) je ne fait pas que de la "logique pure", c'est à dire que je ne fait pas que vérifier que les affirmations succéssives sont "logiquement vraies", j'essaye de donner un sens à cette suite d'affirmations et, souvent (mais pas toujours) le 'sens' est difficile à trouver dans une preuve par l'absurde.
En ce qui concerne la géométrie, ce que je voulais dire, c'est que lorsque je doit faire une preuve purement géométrique (style dans le plan D et D' sont perpendiculaires à D'' donc elles sont parallèles donc...) je fait presque toujours un dessin (et j'incite mes élèves à en faire un) et j'utilise le dessin pour 'voir' quelles déductions faire. Dans le cas d'une démonstration par l'absurde, comme les hypothèses sont contradictoire, on a souvent du mal à faire un dessin sur lequel s'appuyer...
Cela ne veut pas dire que l'on ne doit pas faire de preuves par l'absurde en géométrie, mais simplement que, POUR MOI, c'est l'un des domaines où je les évites le plus possible.

Pour le coté "enseignement", ma constatation est que fréquement, un élève qui ne sait pas comment attaquer une question, commence par dire "faisont une preuve par l'absurde". Je ne lui donnerais pas tort car c'est comme cela qu'il a le plus d'hypothèse au départ. Par contre, trés souvent, des deux hypothèses (P et non(Q)) il n'utilise qu'une des deux et il ne se rend pas compte qu'il a fait une preuve directe ou par contraposition. Et, PERSONELLEMENT, je trouve ça un peu con-con de présenter ça comme une preuve "par l'absurde".

Par contre, s'il y a plusieurs preuves "assez différentes" du même fait dont une par l'absurde, quel que soit la plus longue, je trouve que (quand on as le temps) c'est interessant de les voir toutes.

Enfin, je n'ai pas d'opinion concernant le fait de savoir, en général, lorsque deux preuve (différentes) existe dont une par l'absurde, laquelle est la plus facile à trouver... (à mon avis on doit pouvoir trouver un peu des deux...)

[beagle]

OK, merci Ben, je vais relire,...

S'agissant de :
"En ce qui concerne la géométrie, ce que je voulais dire, c'est que lorsque je doit faire une preuve purement géométrique (style dans le plan D et D' sont perpendiculaires à D'' donc elles sont parallèles donc...) je fait presque toujours un dessin (et j'incite mes élèves à en faire un) et j'utilise le dessin pour 'voir' quelles déductions faire. Dans le cas d'une démonstration par l'absurde, comme les hypothèses sont contradictoire, on a souvent du mal à faire un dessin sur lequel s'appuyer..."


Soit B et C les points où les droites sont sécantes à angle droit.
Par l'absurde les deux droites D et D' ne sont pas parallèles,
donc elles se coupent en C.
donc j'ai un triangle ABC de plus de 180 degrés en somme des angles.
cela n'est pas possible.
Donc dans un plan deux droites différentes qui ne sont pas sécantes,
cela me suffit comme preuve de parallélisme,
par exemple,...
alors d'accord cela dépend de ce que j'ai le droit d'utiliser, ici la somme des angles d'un triangle, mais bon, sur le principe les deux droites ne sont pas parallèles, cela se dessine bien,...

[leon1789]

S'agissant de :
"En ce qui concerne la géométrie, ce que je voulais dire, c'est que lorsque je doit faire une preuve purement géométrique (style dans le plan D et D' sont perpendiculaires à D'' donc elles sont parallèles donc...) je fait presque toujours un dessin (et j'incite mes élèves à en faire un) et j'utilise le dessin pour 'voir' quelles déductions faire. Dans le cas d'une démonstration par l'absurde, comme les hypothèses sont contradictoire, on a souvent du mal à faire un dessin sur lequel s'appuyer..."


Soit B et C les points où les droites sont sécantes à angle droit.
Par l'absurde les deux droites D et D' ne sont pas parallèles,
donc elles se coupent en A.
donc j'ai un triangle ABC de plus de 180 degrés en somme des angles.
cela n'est pas possible.
Donc dans un plan deux droites différentes qui ne sont pas sécantes,
cela me suffit comme preuve de parallélisme,
par exemple,...
alors d'accord cela dépend de ce que j'ai le droit d'utiliser, ici la somme des angles d'un triangle, mais bon, sur le principe les deux droites ne sont pas parallèles, cela se dessine bien,...

...oui mais ton dessin est forcément faux. Faire un raisonnement sur un dessin faux, c'est quand même moins facile que de faire un raisonnement sur un dessin juste.

Une démo directe (qui ne fait que "lire" un dessin juste) : soit u,u',u" des vecteurs directeurs de D, D', D" tels que les angles et soient droits, précisément valant +90°. Alors l'angle = 90° + 90°=180° est plat, donc D et D' sont parallèles.

[leon1789]

S'agissant de :
"En ce qui concerne la géométrie, ce que je voulais dire, c'est que lorsque je doit faire une preuve purement géométrique (style dans le plan D et D' sont perpendiculaires à D'' donc elles sont parallèles donc...) je fait presque toujours un dessin (et j'incite mes élèves à en faire un) et j'utilise le dessin pour 'voir' quelles déductions faire. Dans le cas d'une démonstration par l'absurde, comme les hypothèses sont contradictoire, on a souvent du mal à faire un dessin sur lequel s'appuyer..."


Soit B et C les points où les droites sont sécantes à angle droit.
Par l'absurde les deux droites D et D' ne sont pas parallèles,
donc elles se coupent en A.
donc j'ai un triangle ABC de plus de 180 degrés en somme des angles.
cela n'est pas possible.
Donc dans un plan deux droites différentes qui ne sont pas sécantes,
cela me suffit comme preuve de parallélisme,
par exemple,...
alors d'accord cela dépend de ce que j'ai le droit d'utiliser, ici la somme des angles d'un triangle, mais bon, sur le principe les deux droites ne sont pas parallèles, cela se dessine bien,...

...oui mais ton dessin est forcément faux. Faire un raisonnement sur un dessin faux, c'est quand même moins facile que de faire un raisonnement sur un dessin juste.

Une démo directe (qui ne fait que "lire" un dessin juste) : soit u,u',u" des vecteurs directeurs de D, D', D" tels que les angles et soient droits, précisément valant +90°. Alors l'angle = 90° + 90°=180° est plat, donc u et u' colinéaires et D et D' sont parallèles.

[beagle]

[quote="leon1789"]...oui mais ton dessin est forcément faux. Faire un raisonnement sur un dessin faux, c'est quand même moins facile que de faire un raisonnement sur un dessin juste.

Oui, et non,
c'est bien dans la visualisation des contraintes impossibles que je me fais la bonne représentation mentale du problème.
C'est bien en essayant de falsifier que je me rends compte des forces qui empèchent les droites de se couper.
Autrement dit les droites sont parallèles parce que je n'arrive pas à les faire se couper.
La compréhension de l'impossibilité de leur croisement est aussi importante que la compréhension d'un écart qui restera constant.

ta démonstration par les vecteurs prendra sa force lorsque j'aurais révisé ce chapitre, ...
elle ne fera que renforcer un réseau de compréhension.
Et là je rejoins Ben, c'est un ensemble de choses à relier qui est nécessaire,
et pas une unique et belle démonstration,
c'est comment elle se raccroche à tout le reste.Et le max d'accroches est le mieux.

[Ben314]

C'est bien en essayant de falsifier que je me rends compte des forces qui empèchent les droites de se couper.
Autrement dit les droites sont parallèles parce que je n'arrive pas à les faire se couper.
La compréhension de l'impossibilité de leur croisement est aussi importante que la compréhension d'un écart qui restera constant.

Bien qu'étant plutôt "dans le camp léon", je trouve cet argument... extrêmement "valable"... Ainsi que la conclusion (en vert) dont seul le "aussi" me parrait (peut-être) discutable...

[leon1789]

c'est bien dans la visualisation des contraintes impossibles que je me fais la bonne représentation mentale du problème.

Oui et non.
Oui, pour étudier un théorème contenant de multiples hypothèses, il est intéressant de voir ce qui arrive quand on nie tour à tour chacune des hypothèses, voir qu'on ne peut pas obtenir la conclusion parce qu'il existe tel contre-exemple.

Mais regardons (d'après moi) pourquoi tu écris une preuve "contradictoire" de D//D' et moi une preuve "non-contradictoire" :
-- pour toi, être parallèle, c'est négatif : c'est ne pas avoir de point commun. Donc ta preuve est naturelle : elle montre qu'il ne peut pas y avoir de point commun. C'est une preuve contradictoire pour établir une propriété négative, reposant sur un dessin impossible.
-- pour moi, être parallèle, c'est positif : c'est d'avoir des vecteurs directeurs colinéaires. Du coup, j'ai une preuve non-contradictoire d'une propriété positive, reposant sur un dessin possible.

Logiquement, les deux me semblent valables, mais psychologiquement, elles ne sont quand même bien différentes. Laquelle passera le mieux auprès d'élèves (connaissant à la fois les relations métriques d'un triangle et les vecteurs) ?

[leon1789]

c'est bien dans la visualisation des contraintes impossibles que je me fais la bonne représentation mentale du problème.

Oui et non.
Oui, pour étudier un théorème contenant de multiples hypothèses, il est intéressant de voir ce qui arrive quand on nie tour à tour chacune des hypothèses, voir qu'on ne peut pas obtenir la conclusion parce qu'il existe tel contre-exemple.

Mais regardons (d'après moi) pourquoi tu écris une preuve "contradictoire" de D//D' et moi une preuve "non-contradictoire" :
-- pour toi, être parallèle, c'est négatif : c'est ne pas avoir de point commun. Donc ta preuve est naturelle : elle montre qu'il ne peut pas y avoir de point commun. C'est une preuve contradictoire pour établir une propriété négative, reposant sur un dessin impossible.
-- pour moi, être parallèle, c'est positif : c'est d'avoir des vecteurs directeurs colinéaires. Du coup, j'ai une preuve non-contradictoire d'une propriété positive, reposant sur un dessin possible.

Logiquement, les deux me semblent valables, mais psychologiquement, elles sont quand même bien différentes. Laquelle passera le mieux auprès d'élèves (connaissant à la fois les relations métriques d'un triangle et les vecteurs) ?

[beagle]

Il ne faut pas oublier que je ne suis qu'en sixième,
enfin que je redouble ma sixième,
donc des droites parallèles se définissent "autant"(Ben, je n'ai pas le facteur de proportionnalité, tu m'excuseras :we: ) négativement comme ne se coupant pas,
Et c'est vrai je suis d'accord avec toi Léon, je ne suis pas un antiLéon, tu m'as convaincu,
c'est vrai que c'est moins fort que de savoir pourquoi elles sont parallèles.
A mon niveau il y a la possibilité de définir un écartement et de dire cet écart sera toujours le mème donc il ne peut se réduire, donc ça coupe pas, c'est pas possible,
voila une des forces qui empèche.
Comme je triche un peu grace au forum, j'ai un peu revu la pente des droites dans le y= ax +b
Et là je comprends en positif qu'avec la mème pente elles vont dans la "mème " direction, donc se croiseront pas,
Les vecteurs c'est encore un peu plus tard il me semble,

Mais toutes ces représentations forgerons la notion de droite parallèle.

Quant au théorème avec les angles droits,
c'est appris comme cela en sixième,
et c'est bien utile ensuite ,
mais ce n'est "aussi" qu'un exemple pris à 90 degrés d'une généralité,
où il est possible de prendre le mème angle par rapport à la droite sécante et cela fait du parallélisme.

Bref, ce n'est pas UNE démonstration d'UN théorème qui façonne les images mentales de la culture maths.

Bon, ceci dit je le répète tu es convaincant sur le fait qu'il faut maximiser ce qui permet plus tard de s'appuyer pour faire des maths,
et s'il y a un abus de présentation peu exploitables, tu as raison de défendre ton point de vue,
mais cela c'est aux autres profs du site de te donner réplique,
je ne peux juger.
Il me plait juste de pouvoir en parler.
D'ailleurs merci pour le lien en page 15, faut que je le potasse à mes heures perdues, parce que je fais de l'absurde sans savoir sur quoi cela repose.A ma décharge je fais du non absurde avec les mèmes bases, :we:

[leon1789]

Dans cette discussion http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=83274
je trouve dommage de démontrer par l'absurde une affirmation négative : la courbe C n'est pas une parabole.
En effet, que sait-on à la fin de la démo par l'absurde commençant par "supposons que C est une parabole..." ? Rien d'autre que le résultat demandé : C n'est pas une parabole. Vous me direz que c'est déjà ça, et que cela suffit...

Ok, mais si on retourne les arguments utilisés en les écrivant de manière positive (i.e. sans supposer que C est une parabole), alors on obtient davantage et sans effort supplémentaire ! Existence et unicité d'une parabole passant par trois points dont la tangente est y=... . Bien sûr à la fin, on montre également que C n'est pas une parabole, mais au passage, on obtient d'autres résultats (que l'on peut à la rigueur considérer comme plus intéressants que "C n'est pas une parabole" !).

Non ?

[leon1789]

Il ne faut pas oublier que je ne suis qu'en sixième,

Effectivement, il y a aussi ce genre de contraintes auxquelles on ne peut couper.

[leon1789]

Bref, ce n'est pas UNE démonstration d'UN théorème qui façonne les images mentales de la culture maths.

Oui, c'est pour cela qu'il faut déployer maintes exemples et voir sur chaque cas... C'est un peu ce que j'essaie de faire dans tout ce fil.

[leon1789]

Il me plait juste de pouvoir en parler.

Le plaisir est partagé.

Il ne faut pas oublier que je ne suis qu'en sixième,

Effectivement, il y a aussi ce genre de contraintes auxquelles on ne peut couper.

Bref, ce n'est pas UNE démonstration d'UN théorème qui façonne les images mentales de la culture maths.

Oui, c'est pour cela qu'il faut déployer maintes exemples et voir sur chaque cas... C'est un peu ce que j'essaie de faire dans tout ce fil.

[leon1789]

Bonsoir à tous :zen:

Juste de passage pour dénoncer, encore une fois, cette étrange culture abusive du raisonnement par l'absurde...
Epreuve n°1 du capes 2011 : http://megamaths.perso.neuf.fr/annales/capesexterne2011e.pdf

Démontrer que si une suite décroissante de limite alors, pour tout entier , on a (on raisonnera par l’absurde).

Effectivement, c'était trop court d'écrire pout tout , puis de faire tendre vers l'infini pour obtenir directement .

Voilà, je pensais au forum en lisant le capes 2011 :zen:

[Nightmare]

Oui, mais pour le coup ici, la preuve directe "n'explique" pas vraiment pourquoi c'est vrai (puisqu'on utilise le résultat préliminaire que le passage à la limite conserve l'ordre, ce qui est selon moi tout aussi clair que ce qu'on veut démontrer...)

[leon1789]

Je me demande à quel raisonnement par l'absurde pensait l'auteur du texte. :hein:

[Nightmare]

Ben s'il existe u(i) i (une infinité à partir d'un certain rang) tel que u(j) soit dans ]L-e;L+e[ avec e arbitraire u(i), contradiction.

[ffpower]

Post de léon avant l'heure : n étant fixé, on a que pour tout epsilon>0 , si p asses grand on a w_n>w_p>L-epsilon. Ceci étant vrai pour tout epsilon, w_n>=L.
Donc on peut faire un raisonnement direct, comme ça on voit mieux ce qui se passe, et on peut en déduire plus que ce qui est demandé et tout ça tout ça :we:

[leon1789]

s'il existe u(i) i (une infinité à partir d'un certain rang) tel que u(j) soit dans ]L-e;L+e[ avec e arbitraire u(i), contradiction.

D'accord.

n étant fixé, on a que pour tout epsilon>0 , si p assez grand on a w_n >= w_p>L-epsilon. Ceci étant vrai pour tout epsilon, w_n>=L.

Effectivement. Le raisonnement par l'absurde n'est donc pas indispensable.

[COLOR=White]s'il existe u(i) i (une infinité à partir d'un certain rang) tel que u(j) soit dans ]L-e;L+e[ avec e arbitraire [COLOR=White]0, donc L <= u(i)

Le raisonnement par l'absurde contient quasiment le raisonnement direct, comme souvent.
Sur une preuve de 2 lignes, c'est pas très significatif.

[ffpower]

J'aime bien la partie "on vire les parties absurdes pour obtenir un raisonnement direct" :we: