Topologie et calcul différentiel
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Cocoa_lapin
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par Cocoa_lapin » 27 Nov 2015, 14:54
Bonjour. Je besoin d'aide pour certaines tâches. Je serai reconnaissant
Soit E un espace de Banach. On considere une application g : E ;) E de la forme g = Id + ;), avec ;) de classe C^1 vérifiant
;)D;)(a);) < 1/2
pour tout point a de E. On va montrer que g est alors un C^1-difféomorphisme. Chacune des quatre questions ci-dessous utilise lun des quatre points rappel ;)es ci-dessus.
1. Montrer que ;) est 1/2-lipschitzienne.
2. Dans cette question, on veut montrer que g est une bijection, autrement dit que pour tout y de E il existe un unique x de E tel que g(x)=y. Fixons un point y de E. a.) En utilisant que g = Id + ;), traduire léquation g(x) = y, dinconnue x, en une recherche de point fixe pour une certaine application T : E ;) E. b.) Montrer que T est contractante. c.) Conclure
3. Puisque g est une bijection, elle admet une bijection réciproque g^-1. Montrer que g^-1 est 2-lipschitzienne. Lapplication g est donc un hom ;)eomorphisme.
4. Montrer que, pour tout point a de E, la diff ;)erentielle Dg(a) est inversible.
5. Montrer que g^-1 est différentiable en tout point b de E.
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Robot
par Robot » 27 Nov 2015, 14:57
Oui, eh bien, qu'as-tu fait ?
Le travail est mâché par les questions : la démarche est complètement guidée, sans beaucoup de marge de manoeuvre.
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Cocoa_lapin
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par Cocoa_lapin » 30 Nov 2015, 00:02
Robot a écrit:Oui, eh bien, qu'as-tu fait ?
Le travail est mâché par les questions : la démarche est complètement guidée, sans beaucoup de marge de manoeuvre.
Merci pour votre reponse!
J'ai deja fait 1 et 3, mais je ne comprends pas comment je dois faire 2 et 4. Je vous serais reconnaissant si vous m'expliquez
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Robot
par Robot » 30 Nov 2015, 00:06
Pour 2, il suffit de suivre le mode d'emploi :
étant fixé, écrire
sous la forme
.
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jlb
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par jlb » 30 Nov 2015, 10:52
cela ressemble bcp aux étapes de la démonstration du th de Cauchy Lipchitz. Consulte un cours sur les équations différentielles, tu devrais trouver de l'aide.
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Robot
par Robot » 30 Nov 2015, 11:05
L'énoncé est suffisamment explicite et directif, sans avoir besoin de chercher ailleurs.
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Cocoa_lapin
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par Cocoa_lapin » 30 Nov 2015, 15:43
Robot a écrit:Pour 2, il suffit de suivre le mode d'emploi :
étant fixé, écrire
sous la forme
.
Merci. Je sais comment faire 2 a), mais je ne sais pas comment montrer que T est contractante
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Robot
par Robot » 30 Nov 2015, 16:45
Si tu as le bon T, c'est évident avec la question 1. Quel T as-tu ?
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