Théorème de Cayley-Hamilton

Bonsoir,

Vous connaissez tous le théorème de Cayley-Hamilton :

Soit une matrice carrée à coefficients dans un anneau A commutatif unitaire (prenez un corps si vous préférez). On note son polynôme caractéristique.
Alors dans .

C'est le genre de théorème dont il existe 40 000 preuves (et j'arrondis par défaut). Je voudrais :
- vous en présenter deux (la première est fausse, et la seconde m'a l'air correcte) : la seconde, je ne l'ai vu nul part...
- que vous donniez votre avis sur ces deux preuves. :we:

Preuve fausse :
Par définition . Maintenant on évalue T en M, et on obtient

Cette preuve est fausse. Une raison indiquant que la démo n'est pas correcte est que le 0 obtenu à l'arrivée est le 0 de l'anneau R et non le (0) des matrices de . Ce problème de "typage" révèle bien un truc incohérent dans cette courte preuve...

Cependant, vouloir évaluer le T en la matrice M est assez naturel en fait, même si raconté comme ci-dessus amène une incohérence. C'est dommage...

Preuve juste :
Il y a plusieurs points clés (je vais passer les détails).

Prop 1 : les R-algèbres (matrices à coefficients polynomiaux) et (polynômes à coefficients matriciels) sont canoniquement isomorphe, pour ne pas dire égales.

Prop 2 : on définit un morphisme d'évaluation (à droite) en la matrice M
qui envoie un polynôme sur la matrice .
Cette application est A-linéaire seulement et non compatible avec les multiplications internes des deux A-algèbres de manière générale.

Prop 3 : si commute avec M, c'est-à-dire pour tout i, alors on a , i.e. .

Fin de la preuve du théorème :
On sait que dans (où désigne la co-transposée)
donc dans (isomorphisme d'algèbres)
Or I et M commutent avec M donc la Prop 3 s'applique :



Moralité : vouloir évaluer T en M n'est pas une si mauvaise idée, mais il faut prendre des précautions.

Bon... Votre verdict ? :briques:

Visiblement, ça ne déchaîne pas les foules... :triste:

:we:

Oui, la première est fausse, pas de doute. Le n'est pas la matrice nulle en fait : on se laisse abuser car la notation n'est pas adéquate ( les deux M ne représentent pas les mêmes matrices).

La seconde preuve n'utilise pas grand chose, juste un résultat bien connu où est la co-transposée de la matrice N.

Il existe effectivement pleins d'autres preuves, plus ou moins sophistiquées. De ce que j'ai vu, les preuves utilisent soit (appliqué avec ), soit les matrices compagnons (et leurs polynômes caractéristiques), soit la diagonalisation (notion encore plus évoluée...)

plutot la tigonalisaton en se plongeant dans la cloture algebrique(je pense que c'est ce que t'as voulu dire en disant diagonalisation)

Oui c'est vrai, il y a des démos qui utilisent la trigonalisation.
Mais bon, trigonalisation ou diagonalisation, dans un certain sens c'est kif kif pareil :happy2: c'est lié à l'existence de valeurs propres.

En fait, ce qui m'étonne, c'est que je n'ai vu aucune preuve où on disait clairement

dans . Or I et M commutent avec M donc on peut évaluer T en M , d'où

Etrange non ? Pourquoi une telle retenue ??