Une forme faible du théorème de Jordan

[Skullkid]

J'ai attendu un certain nombre d'échanges avant d'intervenir, et ce n'est pas "à moi" que la question a été posée mais aux membres de ce forum. Je n'ai pas à me justifier concernant ma tentative de démonstration, je l'ai simplement proposée, avec toutes les précautions d'usage.

Mais tu as le droit de proposer des démos, même si tu étais le premier à parler... C'est juste ta proposition qui m'intéressait, parce que tu n'as pas formulé de démonstration, seulement une idée floue ; et que je voulais voir si tu avais une vraie idée derrière la tête, qui aurait pu ou non marcher, ou si - comme tu as souvent tendance à le faire - tu faisais juste semblant de voir les liens avec un truc que tu as l'habitude de faire.

Bon maintenant cette discussion que je voulais avoir n'aura sans doute pas lieu puisque Le_chat a donné une esquisse de démo qu'on peut raisonnablement rapprocher de ta proposition initiale et que tu vas probablement te raccrocher à elle et sortir la carte du vocabulaire qui aurait changé... J'essaye quand même : qu'entends-tu par "mémoriser la suite des simplifications" ? À première vue je comprends par là que tu veux que je note les couples de points entre lesquels j'ai rectifié la courbe, est-ce bien cela (étant donné que pour passer d'une courbe à sa courbe transformée, je n'ai besoin que de connaître deux points A et B) ?

Donc, je pars d'une ligne polygonale entre (0,0) et (1,0). J'effectue deux fois la transformation, la première fois entre les points (0,0) et (0.5,0), la deuxième fois entre les points (0.8,0) et (1,0). À l'issue des deux transformations, la courbe est devenue le segment qui joint (0,0) et (1,0). Quelle était la courbe de départ ?

Je ne sais pas définir deux points infiniment proches sans jeter un oeil à l'article Wiki sur l'analyse non standard, j'aurais espéré que comme tu utilisais cette notion, tu saurais la définir :/

Sinon je ne t'ai pas demandé de me démontrer que les diagonales du carré se coupent, même si je n'ai rien compris à la démo que tu présentes puisqu'elle force à faire des liens, existants ou non, avec ce que tu as l'habitude de faire...

On les approche alors par des "lignes brisées" en approchant à moins de e/2 les coordonnées par des fonctions en escalier. Ces lignes brisées ne se coupent pas, vu qu'on les approche d'assez près. Je crois que c'est ça le fond de l'idée de Dlzlogic.

Le problème étant toujours d'arriver à cerner "le fond des idées de Dlzlogic"...

[beagle]

Bah, la méthode de Dlzlogic , c'est pas d'utiliser l'homotopie des courbes avec les deux diagonales du carré, ce que j'ai fait aussi avec l'élasticité en tirant sur une courbe, mais on peut tirer sur les deux courbes, non?

[Dlzlogic]

Ben oui, ce que j'ai essayé de démontrer est exactement la même chose que l'élastique, à une nuance près, dans le cas général, l'espace n'est pas limité, ici il l'est, c'est ce qui permet d'avoir une démo plus facile. La notion fondamentale est que les points P1 et P3 sont intérieurs au carré, alors la moyenne entre les 2 l'est aussi. Ce qui n'est pas possible à dire dans le cas général, sauf si on peut déterminer un domaine de définition convexe, ce qui peut être une solution à retenir.
Dis, Beagle, essaye d'imaginer une seconde ce qu'aurait dit S. si j'avais parlé d'élastique, de matelas ou autre accessoire de chaussure.
Pour répondre à une question, pour que la démonstration soit valable, il faut que ce soit inversible. C'est à dire que le retour soit forcément identique à l'aller. Autrement dit qu'il n'y ait qu'un chemin pour simplifier et le même, dans l'autre sens, pour rétablir.
A noter encore que le problème serait plus difficile à démontrer si l'une des deux courbes, ou les deux étaient fermées.

[beagle]

Bah, "ma"(compréhension) vraie démonstration c'est celle que j'ai donnée au début.

le truc de tirer sur la courbe pour la redresser, la dérouler date du fil précédent,
mais on retombe sur du il est évident que, sauf à s'y connaitre sur les termes exacts.
D'ailleurs si nos pros pouvaient me redonner les termes mathématiques sous -jaccents à cette action,
j'ai la flemme de rechercher dans l'ancien fil...
Dlzlogic:"si j'avais parlé d'élastique, de matelas ou autre accessoire de chaussure."
Pfut, étirer, élastique, c'est l'essence mème de la topologie:

PS:définition de topologie:
http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5151

aussi:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_fondamental
dommage , je ne comprends que les dessins!

[beagle]

Cela ressemble au théorème de Hex:
http://eljjdx.canalblog.com/tag/Topologie

[beagle]

Mais à part celà Dlzlogic, une fois la courbe courbe devenue diagonale,
quelles propriétés tu utilisais pour dire absence de points communs de points de coupure?
Parce que l'explication de Le_chat est hum, enfin il appelle cette méthode laborieuse.
Tu faisais quoi pour dire si cela se coupe sur les diagos alors cela se coupe sur les courbes de base,...?

[beagle]

Les mots clés sont par exemple:
chemins homéotopes
et homéomorphisme:En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue entre deux espaces topologiques dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.
c'est pour cela que vous parlez de la nécessaire réciproque j'imagine.C'est ça?
Est-ce que on est homéotope lorsque'il existe un homéomorphisme ou cela ne correspond pas aux mèmes trucs?

Sinon, tu dis que si les diagos doivent se couper, alors il faudra traverser-couper le morceau de courbe initiale qui correspond à la zone de la diago qui remplace la courbe.C'est cela?

sinon ne pas manquer d'explorer la ref du théorème de hex,
en dessous c'est plein de trucs intéressants ...

[Dlzlogic]

Bonjour Beagle,
D'abord, loin de moi l'idée de vouloir répéter avec d'autres termes ce que tu as dit de façon claire, mais j'ai tellement appris à choisir les mots que j'emploie et j'essaye tellement d'être clair que ça peut avoir une influence négative sur la fluidité de nos échanges.
Il est vrai que je m'appuie sur ce que j'ai compris et utilisé. Je l'ai senti comme un reproche. Est-il préférable d'argumenter avec des notions apprises et non mises en pratique ?

Bon, je vais essayer de résumer ma démo.
Dans un premier temps, je montre que l'on peut raisonner avec les diagonales qui joignent les extrémités des courbes continues, puisque la transformation de l'un vers l'autre est réversible. L'adoption du milieu de 2 points, puis de sa suppression, à la place du point intermédiaire est l'argument mathématique.
Reste à démontrer que les diagonales d'un carré se coupent. Pour cela, j'introduis une notion supplémentaire, la troisième dimension que l'on peut visualiser par le pliage du carré suivant ses 4 1/2 diagonales pour former ce qui ressemble à une pyramide. Les arêtes sont les lignes de partage des eaux, je fait intervenir volontairement la gravité.

[Dlzlogic]

Un point que j'ai oublié de préciser : l'utilisation du terme "topologie" dans les articles cités est nouvelle pour moi.
Pour résumer simplement, la topologie linéaire décrit les rapports entre des lignes orientées ou non, suivant les cas. C'est la science utilisée pour étudier les itinéraires.
Il y a aussi la topologie zonale, là les objets étudiés sont des zones, c'est à dire des espaces limités par un périmètre, généralement sans trou. Les départements en sont un exemple. La coloration des départements à l'aide de 4 couleurs, sans que 2 département limitrophes aient la même couleur, utilise cette notion. Pour mémoire, c'est un algorithme intéressant à mettre au point, je l'avais proposé en "défi" :triste: :cry: j'en pleure encore.

[beagle]

"Dans un premier temps, je montre que l'on peut raisonner avec les diagonales qui joignent les extrémités des courbes continues, puisque la transformation de l'un vers l'autre est réversible."

en quoi ce qui coupe l'une doit couper l'autre, why?

[Dlzlogic]

"Dans un premier temps, je montre que l'on peut raisonner avec les diagonales qui joignent les extrémités des courbes continues, puisque la transformation de l'un vers l'autre est réversible."

en quoi ce qui coupe l'une doit couper l'autre, why?

C'est dû à la relation d'ordre. Le trajet P1-P2-P3 a un sens. Il y a donc un côté droit et un côté gauche. Lors de la simplification, un point du plan ou du carré pourra passer du côté droit au côté gauche du segment élémentaire ou l'inverse, ceci autant de fois qu'on veut. Donc au vu de la courbe, il est difficile de savoir quel est son côté droit et son côté gauche. Par contre, on sait, que quelles que soient les modifications il restera inchangé.
Enfin, lorsqu'on aura réduit la courbe à un segment, si tel points est d'un côté du segment, on sait qu'il a toujours été du même côté par rapport à la courbe.

[beagle]

C'est dû à la relation d'ordre. Le trajet P1-P2-P3 a un sens. Il y a donc un côté droit et un côté gauche. Lors de la simplification, un point du plan ou du carré pourra passer du côté droit au côté gauche du segment élémentaire ou l'inverse, ceci autant de fois qu'on veut. Donc au vu de la courbe, il est difficile de savoir quel est son côté droit et son côté gauche. Par contre, on sait, que quelles que soient les modifications il restera inchangé.
Enfin, lorsqu'on aura réduit la courbe à un segment, si tel points est d'un côté du segment, on sait qu'il a toujours été du même côté par rapport à la courbe.

OK, c'est par identification d'un coté de la courbe.J'avais cela dans le fil précédent je mettais du vert "a gauche" du rouge "à droite", et on voyait bien l'inversion de couleur entre "le haut et le bas " lors de l'avancée de la courbe, mais bref plus facile au final de compter impair pour sortir ...

[Skullkid]

C'est dû à la relation d'ordre. Le trajet P1-P2-P3 a un sens. Il y a donc un côté droit et un côté gauche. Lors de la simplification, un point du plan ou du carré pourra passer du côté droit au côté gauche du segment élémentaire ou l'inverse, ceci autant de fois qu'on veut. Donc au vu de la courbe, il est difficile de savoir quel est son côté droit et son côté gauche. Par contre, on sait, que quelles que soient les modifications il restera inchangé.
Enfin, lorsqu'on aura réduit la courbe à un segment, si tel points est d'un côté du segment, on sait qu'il a toujours été du même côté par rapport à la courbe.

J'insiste, ce que tu dis n'a aucun sens... Ce que je crois en comprendre c'est qu'au début tu dis qu'un point donné peut changer de côté n'importe comment pendant que tu rectifies la courbe, ce avec quoi je suis d'accord, mais après tu dis que si un point est à gauche de la courbe initiale, il est forcément à gauche du segment qui joint les extrémités de la courbe initiale, c'est ça ? Ci-dessous, le point symbolisé par le petit carré noir est à gauche (au dessus) de la courbe mais à droite (en dessous) du segment de droite qui joint les extrémités de la courbe.

[center][/center]

[Dlzlogic]

Dur-dur.
Le problème posé n'est pas de savoir si un point est à gauche ou à droite d'une courbe, mais de démontrer que deux courbes, telles que définies dans l'énoncé se coupent.
J'utilise la méthode de simplification de la courbe. Elle est justifiée, puisque le côté gauche (rouge) reste à gauche et le côté droit (vert) reste à droite. Bien-sûr, le point sur ton graphique est à gauche de la courbe et à droite du segment, à un instant donné. C'est pour cette raison qu'il faut trouver une méthode de de transformation de courbe en un seul segment DANS LE CADRE DE L'ENONCE ET DE LA DEMONSTRATION RECHERCHEE.

En fait le point qui me parait plus délicat à expliquer et qui pourrait éventuellement prêter à discussion est de prouver que les diagonales se coupent. Ce ne serait d'ailleurs pas vrai si une courbe était située au fond de la mer et l'autre étant constituée du trajet d'un bateau. Je n'ai pas trouvé d'autre méthode que de faire intervenir une troisième dimension et la gravité.
D'ailleurs, on approche ici la notion de surface, dont il a été question sur ce forum. Si les courbes appartiennent à deux surfaces différentes, mais ayant même projection horizontale, le "croisement" n'est pas vrai. C'est cela qui permet de représenter n'importe quel volume 3D à l'aide d'un repère 2.5D. On peut avoir 2 points qui ont même projection horizontale et qui sont différents.

Si tu as une autre méthode, je t'en prie, propose-là.
Si tu réussis à montrer qu'on ne peut pas démontrer que les diagonales se coupent, dans la géométrie Euclidienne, ton affirmation :

J'insiste, ce que tu dis n'a aucun sens...

serait vraie, encore faudrait-il le prouver.

[Dlzlogic]

Je vais rajouter un petit commentaire.
Lorsqu'on a à traiter des zones, l'un des problèmes les plus difficile est de savoir si un point est à l'intérieur ou à l'extérieur de telle zone.
J'ai essayé plusieurs méthodes. L'étude de la parité du nombre d'intersections avec le périmètre de la zone en est une. Le problème se complique si la zone comporte des trous et si ces trous contiennent eux-même des éléments de zone.
Je ne m'étendrai pas plus sur ce hors-sujet puisqu'il ne correspond pas à la question posée.

[beagle]

Pour un carré avec diago, j'ai fait, j'ai mis il me semble quelque chose qui tient la route, sans la troisième dimension, mais toujours avec la fameuse courbe extérieure au carré ,...

cela n'aide pas à comprendre ton histoire avec les cotés de courbes,...

[Skullkid]

Dur-dur.
Le problème posé n'est pas de savoir si un point est à gauche ou à droite d'une courbe, mais de démontrer que deux courbes, telles que définies dans l'énoncé se coupent.
J'utilise la méthode de simplification de la courbe. Elle est justifiée, puisque le côté gauche (rouge) reste à gauche et le côté droit (vert) reste à droite. Bien-sûr, le point sur ton graphique est à gauche de la courbe et à droite du segment, à un instant donné. C'est pour cette raison qu'il faut trouver une méthode de de transformation de courbe en un seul segment DANS LE CADRE DE L'ENONCE ET DE LA DEMONSTRATION RECHERCHEE.

Tu ne fais toujours aucun sens... Si ce que tu veux dire c'est que le côté gauche d'une courbe est à gauche de cette courbe, c'est vrai mais ça ne sert à rien (la gauche est à gauche, ça nous fait une belle jambe). Si tu veux dire que le côté gauche d'une courbe est le même que le côté gauche de sa transformée, c'est faux. La courbe que j'ai dessiné rentre dans le cadre de l'énoncé et j'ai exhibé un point qui appartient au côté gauche de la courbe et au côté droit de sa transformée. Peu importe la transformation que tu utilises pour passer de la courbe à la diagonale, le point aura quand même changé de côté, et il n'y a pas d'histoire de "à un instant donné".

Montrer que les diagonales du carré se coupent n'est pas difficile et n'a rien à voir avec cette discussion. Il ne s'agit pas non plus de décider si un point quelconque est d'un côté ou de l'autre, ce qui, il est vrai, est un problème qui peut devenir difficile. Il s'agit de savoir comment tu démontres l'implication "puisque les diagonales du carré se coupent, n'importe quel couple de courbes reliant les côtés opposés deux à deux vérifie la même propriété".

[Dlzlogic]

Quelle est ta proposition ?

[Skullkid]

Pour ? S'il s'agit de répondre au problème initial, je n'ai pas trouvé de solution seul et je suis satisfait par les solutions proposées qui marchent. Si tu me demandes de montrer que les diagonales du carré se coupent, je montre que le centre du carré appartient aux deux diagonales, par exemple en me mettant dans un repère, en appelant le carré ABCD, O son centre, et en montrant que les vecteurs AO et AC sont colinéaires, ainsi que les vecteurs BO et BD.

Mais ça ne fait pas avancer le schmilblick, ta prétendue démonstration n'en est toujours pas une. Mais je salue sincèrement le fait que tu ne te cherches pas à te raccrocher hypocritement à celle esquissée par Le_chat.