Une forme faible du théorème de Jordan

[Le_chat]

Bonsoir.

J'ai là un exo quelque peu tendu:


On prend le carré [0,1]^2, et deux courbes continues, la première partant de (0,0) pour arriver en (1,1), la seconde partant de (0,1) pour arriver en (1,0).

Il faut montrer qu'elles se croisent.

Vous auriez une idée pour résoudre ou au moins avancer dans la résolution, en restant à niveau bac+2?

Merci d'avance pour toute contribution :)

[Doraki]

sans le théorème de jordan ou sans hypothèse supplémentaire sur tes courbes, je vois pas comment tu peux faire.

[Nightmare]

Hello,

j'avais posé cette question il y quelques années, c'était un feu modo du forum qui m'avait apporté une réponse. Sa preuve utilisait le théorème du relèvement, mais je ne me rappelle plus sa conclusion.

L'idée est que si les deux courbes ne se croisent pas, on peut considérer en chaque (t,t') les coordonnées du vecteur reliant le point de la première courbe à l'instant t et le point de la deuxième courbe à l'instant t', que l'on normalise, ce qui nous fournit une application (t,t')->vectunitaire(f(t),g(t')) continue du carré dans le cercle unité. On la relève en une application continue du carré dans R, mais je ne sais plus ce qu'on fait avec. De mémoire on arrive à une contradiction sur les valeurs que prend le relèvement.

Je regarde ça.

[beagle]

Ben moi cela me rappelle le mème exo mais c'était un échiquier, une tour se déplaçait de gauche à droite, colonnes a vers colonne h,
une autre tour se déplaçait de haut en bas, rangée 8 vers rangée 1.
et fallait montrer que leur chemin se croisait.

Pour faire cela on utilisait une paire de vieille basket, des Nic hair Jordan,
et on se servait uniquement des lacets.
Pour la pointure, j'avais eu la chance de dialoguer avec de grosses pointures:
l'exo était de ffpower, et Ben314 + Doraki venaient faire ch..r à chauqe fois que Nodjim et beagle sortaient des : "il est évident que ..."

j'essaye de me remémorer, mais comme c'est un des très bons moments de maths forum, j'ai pas mal de trucs encore en tète.

[beagle]

La base est de partir , alors là excusez les termes, je ne retiens jamais le vocabulaire,
partir d'une courbe fermée qui engendre une figure géométrique fermée.
Bon je vais appeler cette figure une maison, la courbe frontière je vais appeler cela un mur.
ensuite on parlera de intérieur pour tout déplacement dans la maison, et extérieur lorsqu'on ira dehors.

L'astuce est que si on est au départ dans la maison,
et que l'on fait des allers-retours maison extérieur,
en comptant les points de contact avec le mur:
-on est de retour à la maison si nombre pair:
sortir, rentrer, sortir, rentrer, sortir , rentrer = 6
-on est resté dehors si nombre impair:
sortir, rentrer, sortir = 3

des problèmes se posent:
.dans certains univers géométrique, Doraki joue aux échecs sur des échiquiers torriques
mais cela on doit pouvoir le définir pour ce cas précis, prendre un carré bien repassé, sans plis,...
.lorsque le trajet au lieu d'ètre transfixiant, s'amuse à parcourir une partie du mur,
mais là aussi cela doit se gérer

à suivre

[beagle]

Toute tentative à base de ben il y a deux figures géométriques fermées, et l'autre courbe passe de l'une à l'autre, était rejetée par les pointures, et pourtant avec nodjim on en avait écrit des pages.

Le truc a été de n'utiliser qu'une seule maison, et un seul dedans, un seul dehors.
L'astuce de Ben a été de créer un cadre à l'échiquier, ici il faut déborder du carré 0-1,
par exemple en faisant une bordure de 1 alpha, ou de a.
on aura deux "horizontales" 1+a et 0-a
et deux "verticales" 0-a à gauche, 1+a à droite.
la raison essentielle c'est que le trajet peut emprunter les bords, et qu'il couperait alors la maison en plusieurs maisonnettes.grace au cadre oa aura une seule maison.
Ce cadre doit ètre divisé en deux parties (en fait une seule utile, mais bon),il faut relier le point 0-0 à la verticale 0-a et le point 1-1 à la verticale 1+a

Une autre astuce est de virer les boucles de la courbe.
Elles n'on aucun intérèt et gènent là-aussi la notion de maison unique (on se retrouve avec des chambres dans la maison et des garages accolés à la maison.Zou, on vire.

à suivre!

[beagle]

And now,

Pour tout x compris entre 0 et 1,
la "verticale" à x définit la maison suivante:
le rectangle de sommets (0,0) (0,1) (x,0) (x,1)

Si on part de cette maison du point (0,0),
pour aller vers (1,1) je dois dépasser x = je dois sortir = j'ai un nombre impair de points transfixiants

Si on prend maintenant le point (x,1+a), la verticale qui va à (x,0-a) coupe un nombre impair de fois la courbe, si je définis comme maison le cadre partie supérieur + zone du carré jusqu'à première coupure avec la courbe + partie de gauche du cadre + zone du carré jusqu'à rencontre courbe,
bref cette zone sera intérieure,
alors que le point (x,0-a) sera en zone extérieure.

Tous les points de l'horizontale 1 seront dans la maison ou seront un mur.
Tous les points de l'horizontale 0 seront en dehors de la maison ou un mur

Donc (0,1) est dans la maison, et (1,0) est dehors (ou ils sont murs, mais alors là ils sont communs= courbes se coupent) , donc il faut que la courbe sorte de la maison,
et comme elle n'a pas le droit de le faire en dehors du carré, ele va couper le mur dans le carré.

[beagle]

Pour les trajets de la courbe avec des passages "verticaux" dans la droite verticale des x,

soit la courbe ne sort pas de l'autre coté,
le segment est compté 0 (ou 2)
soit la courbe finit par sorti à l'extérieur,
le segment est compté 1 (ou 3)

[Doraki]

Hello,

j'avais posé cette question il y quelques années, c'était un feu modo du forum qui m'avait apporté une réponse. Sa preuve utilisait le théorème du relèvement, mais je ne me rappelle plus sa conclusion.

L'idée est que si les deux courbes ne se croisent pas, on peut considérer en chaque (t,t') les coordonnées du vecteur reliant le point de la première courbe à l'instant t et le point de la deuxième courbe à l'instant t', que l'on normalise, ce qui nous fournit une application (t,t')->vectunitaire(f(t),g(t')) continue du carré dans le cercle unité. On la relève en une application continue du carré dans R, mais je ne sais plus ce qu'on fait avec. De mémoire on arrive à une contradiction sur les valeurs que prend le relèvement.

Je regarde ça.

en prolongeant l'une des courbes en dehors du carrés pour faire un cercle, on obtient une application continue de S1 x [0;1] dans S1, donc une homotopie entre 2 fonctions de S1 dans S1.
Mais on s'aperçoit que l'une est homotope à l'identité et que l'autre est homotope à une constante, contradiction (avec le relèvement on obtient une fonction continue de [0;1] dans Z qui prend les valeurs 0 et 1).

[beagle]

en prolongeant l'une des courbes en dehors du carrés pour faire un cercle, on obtient une application continue de S1 x [0;1] dans S1, donc une homotopie entre 2 fonctions de S1 dans S1.
Mais on s'aperçoit que l'une est homotope à l'identité et que l'autre est homotope à une constante, contradiction (avec le relèvement on obtient une fonction continue de [0;1] dans Z qui prend les valeurs 0 et 1).

Je me souviens dans l'exo sur l'échiquier qui était un cas discret, vous aviez évoqué le cas continu, avec ce fameux prolongement extérieur pour boucler une des courbes.
C'est ce qui avait inspiré le fameux cadre ou hémicadre extérieur au carré dont j'ai parlé.
Maintenant je n'avais pas retenu la démonstration avec l'homotopie parce que je ne connaissais pas l'homotopie.Pas plus que le relèvement.
Ma présentation permet aujourd'hui d'introduire Jordan dès l'école primaire en CM, ce qui rejoint l'ambition du nouveau gouvernement pour l'école.Sans doute tous les parents ne comprendront pas de la mème manière l'objectif pédagogique des lacets de Jordan: "le mien à 7 ans il est toujours pas capable de lacer ses chaussures, je lui achète que des scratchs!""Mon Julien savait le faire à 4 ans, c'est quoi ces nouveaux programmes où on refait les lacets en CM?"

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je ne connaissais pas le théorème de Jordan et la lecture de l'article m'a bien intéressé.
Il me vient à l'esprit deux applications
1- On dit en géographie que on peut dans tous les cas, sur un même continent, se déplacer d'un point à un autre sans se mouiller les pieds. Cela signifie que les lignes de crête (lignes de séparation des eaux) ne peuvent pas couper les talwegs. Cela se démontre par la gravité, une goutte d'eau ne peut descendre que dans une seule direction.
2- En informatique graphique, le problème qui consiste à savoir si un point est intérieur ou extérieur à une zone définie par une ligne polygonale fermée quelconque qui ne se recoupe pas, est particulièrement difficile.

[ffpower]

Hello. C'est effectivement le cas continu de l'exo de l'échiquier

Ici donc:
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=54299&highlight=%E9chiquier
(ah il était rigolo ce topic^^)

Et vu que le topic est assez huge, je redonne les posts importants:
(par citation car j'ai pas trouvé comment avoir les liens des posts)

La version de Ben, par homotopie, qui correspond en gros à ce qu'évoquait Night:
(cette solution traite directement le cas continu: elle n'est pas spécialement élémentaire, mais pas de très haut niveau non plus)

Salut, à force de cogiter, j'ai bien une solution, mais elle est (au départ) de "haut niveau", mais je pense qu'on peut la présenter (surtout dans le cas discret) à un niveau plus bas.
Un outil assez puissant qui "étend" assez bien le Théorème des Valeurs Intermédiaires à la dimension 2 est la notion d'indice d'un point par rapport à une courbe (continue et fermée, c'est à dire dont le point de départ est le même que le point d'arrivé).
Pour ceux qui ne connaissent pas la notion voila une des façons de définir l'indice (il y en a d'autres) :
On a une courbe paramétrée (continue) et un point non situé sur la courbe.
On peut démontrer qu'il existe une paramétrisation de la courbe en coordonnées polaires centrées en , c'est à dire des fonctions continues et telles que, pour tout le vecteur ait pour coordonnées .
Comme , on a donc est un entier et c'est lui que l'on apelle "indice du point par rapport à la courbe " et que l'on peut par exemple noter .
Il est bon de noter que la fonction est clairement unique, que la fonction ne l'est pas (on peut la décaler de ) mais que la valeur de ne dépend pas du choix de la fonction . On peut aussi montrer (facile) que l'indice ne dépend pas de la paramétrisation de la courbe choisie : c'est une vrai "notion géométrique".
Si on fait un petit dessin, on voit que, graphiquement parlant, l'indice de par rapport à , c'est le "nombre de tours que fait la courbe autour de ".
Une autre chose (relativement) façile à montrer, c'est que la fonction définie sur privé du support de et à valeur dans est continue donc constante sur chaque composante connexe du complémentaire de la courbe. En fait, on a donc à peu de frais un résultat un peu de même nature que le théorème de Jordan.

Par rapport au problème de départ (version continue) : on part d'une courbe continue qui va d'un point du haut de l'échiquier a un point du bas (et ne passant par aucun point du bord droit ou gauche). On en fait une courbe fermée en rajoutant une large boucle passant à l'extérieur de l'échiquier, par exemple par la droite. Il est facile de montrer que, par rapport à cette courbe, les points du bord gauche de l'échiquer ont un indice de +1 alors que ceux du bord droit ont un indice de 0. Il ne sont donc pas dans la même composante connexe du complémentaire de la courbe et cela signifie que l'on ne peut pas aller du premier point au second sans couper la courbe.
C.Q.F.D.

La version de Doraki pour le cas discret, qui correspond à ce qu'expliquait Beagle: elle consisite à définir de quel "cotè" on ait par rapport à un lacet, en regardant le nombre de murs qu'on doit traverser pour sortir du carré:

Le problème est de donner une vraie fonction concrète qui soit facilement calculable qui dise si on est à gauche ou à droite de la courbe.

Si on le chemin est donné avec un sens de parcours, donc sous forme d'une suite de cases contiguës.
Si (x,y) n'est pas une case du chemin, soit f(x,y) = la parité du nombre de liaisons (x',y) (x',y+1) avec x' (x',y+1), quand on les range pour des valeurs de x croissantes, elles se font dans des directions alternées.

Ma version, pour le cas discret aussi, qui consiste à se ramener au même problème avec des chemins un peu raccourcis, ce qui permet de conclure par reccurence sur la taille des chemins:

Donc pour commencer, je me ramene au cas ou :
-Un des pions part du milieu du coté haut pour finir au milieu du coté bas ( on va dire que le coté de l'échiquier comporte un nb impair de cases, histoire qu'il y ait bien un milieu )
Un autre pion part du milieu du coté gauche pour finir au milieu du coté droit. C'est facile de se ramener à ce cas ( mais demande si tu vois pas comment )
-Les 2 trajectoires sont injectives : à chaque fois qu'un pion revient sur une case ou il est déjà passé, on vire la "boucle" superflue qu'il vient d'effectuer. Ainsi dans ce cadre, si les 2 pions ne passent jamais sur une même case, ça entraine la propriété suivante : si un pion passe à un moment donné sur une case, plus aucun des 2 pions ne repassera sur cette case ensuite.


Ensuite, j'appelle demi-tour un bout de trajectoire qui ressemble à ça :

* *
*
*
*
* *

c'est à dire un passage ou le pion tourne 2 fois de suite à gauche, ou à droite. Je définis la longueur du demi tour comme le nombre de cases dont se déplace le pion entre les 2 moments ou il tourne ( sur mon précédent dessin, cette longueur vaut 4 )

Je dis qu'à moins qu'un pion ne fasse qu'avancer en ligne droite, il effectuera forcément au moins un demi-tour. ( si à un moment le pion partant d'un milieu d'un coté tourne à droite par exemple, et qu'il ne fasse jamais de demi-tour, on peut vérifier qu'il ne pourra pas atteindre le milieu du coté d'en face-il finira son parcours trop à droite)

Je considere un demi-tour de longueur minimal, parmi tous les demis tours effectués par les 2 pions. On va dire que celui ci est par exemple de longueur 4, pour rester dans le cadre de mon premier dessin :

* *
* X
* X
* X
* *

Et je dis alors que si les 2 trajets ne se croisent pas, alors aucun pion ne peut passer sur les cases marquées d'une croix. En effet les seuls moyens serait soit parce que le pion poursuivrait son parcourt ainsi :

* *
*
*
*|**
* *
( la barre est là pour pas qu'il y est d'ambiguité sur le chemin parcouru )
Soit parce qu'un autre pion ( ou le même pion ) passe dans le coin :

* *
* 0 0
* 0
* 0 0
* *

Dans les 2 cas, ça crée un demi-tour de longueur plus petite, ce qui contredit la minimalité de la longueur du demi-tour choisi.

Du coup, ceci permet de définir une nouvelle trajectoire pour le pion, plus courte, en le faisant passer sur les cases marquées d'un X. Si il faisait un truc comme ça :

* * *
* X
* X
* X
* *
X *

Sa nouvelle tracectoire deviendrait :

X* *
X*
X*
X*
X*
X*

Ainsi on a raccourci le chemin d'un des deux pions, et avec cette nouvelle config, les trajectoires restent injectives, et ne se croisent toujours pas si elles ne se croisaient pas au départ. En poursuivant ce procédé, on raccourcit petit à petit les trajectoires des 2 pions jusqu'à se ramener à un cas trivial ou on sait que les trajectoirent se coupent forcément.

Et enfin, comment passer du discret au continu par un ptit argument de compacité:
Je le réécris entièrement car j'ai été un peu trop concis sur le topic: Si on appelle f,g les 2 fonctions continues de [0,1] dans [0,1]^2, le but est de montrer l'existence de t et t' tel que f(t)=g(t')
Une fois le cas discret traité, on sait donc conclure quand f,g sont dans l'ensemble E des fonctions affines par morceau, constitués uniquement d'un nombre fini de traits verticaux et horizontaux de longueurs rationnelles, car correspondent alors à un chemin discret sur un quadrillage bien choisi..

Or f et g sont limites uniformes de fonctions de E(se montre en utilisant qu'elles sont uniformément continues)
On peut donc trouver (fn) et (gn) 2 suites dans E tendant respectivement vers f et g. On sait qu'il existe tn, tn' tel que fn(tn)=gn(tn'). Par compacité, quitte à extraire une sous suite, on peut supposer que (tn) et (tn') convergent vers des réels t et t', et on a alors f(t)=g(t')

[beagle]

C'est super , je croyais que ce fil avait disparu dans le crash.
j'avais bien aimé ce fil parce que nos pros du site avaient eu la patience de repousser-discuter, toutes les sorties de nodjim et beagle à base de il est évident que ceci ou cela.
Mais, le gros mais pour moi, c'est que si je suis heureux d'avoir pu comprendre la méthode qui vous convenait, je n'ai jamais été en mesure de saisir ce que vous acceptiez comme présuposé ou non.
Donc me gène derrière votre argumentation matheuse de ne pas savoir si vraiment vos outils ne sous-entendent pas des choses que vous nous refusiez.Mais bon, je vous fais confiance.il s'afit juste de mes limites.

par exemple, a-t-on le droit de dire que tout point du périmètre du carré, tout point définissant les bords du carré,
alors pour tous ces points, il ne peuvent qu'appartenir à la courbe délimitant une surface fermée comprise dans ce carré. peut-on dire que ces points ne sont jamais internes à ces surfaces?
D'ailleurs quelle est la définition d'un point dedans versus un point de la courbe fermée délimentante?

[nodjim]

Comme il s'agit de 2 fonctions continues f et g, ne pourrait on simplement dire que la fonction f-g est continue aussi, et que le fait qu'elle change de signe entre 0 et 1 signifie qu'elle passe par 0 ?

[Le_chat]

Merci pour ces réponses!

Comme il s'agit de 2 fonctions continues f et g, ne pourrait on simplement dire que la fonction f-g est continue aussi, et que le fait qu'elle change de signe entre 0 et 1 signifie qu'elle passe par 0 ?

Non je crois bien que je parle de courbes, ce ne sont pas forcement les supports de fonctions continues.


Et un énorme merci à ffpower pour avoir ressorti le message de ben314, c'est en gros la réponse que je cherchais.

[benekire2]

pour avoir ressorti le message de ben314, c'est en gros la réponse que je cherchais.

Sacré Ben Dommage qu'il ne passe plus nous voir !

[Judoboy]

J'arrive pas à voir pourquoi le théorème de passage des douanes ne suffit pas...

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai pensé à une autre démo. On discrétise à l'infini chacune des courbes, puis on remplace un point sur 2 par la moyenne du précédent et du suivant, sauf le premier et le dernier.
Puisque les courbes appartiennent au carré, chaque point servant à calculer les moyenne aussi et les milieux aussi.
Au bout de toutes ces "simplifications" il ne reste que les diagonales du carré, qui, comme chacun, sait se coupent.

[Mathusalem]

Je ne sais pas si le procédé que tu décris qui sera critiqué par les plus compétents, comme : [insérer commentaires pertinents].

Ce qui est sûr, c'est que :

Au bout de toutes ces "simplifications" il ne reste que les diagonales du carré, qui, comme chacun, sait se coupent.

est un cas particulier du problème posé. Moi aussi, je sais qu'évidemment, ces deux courbes se coupent, et en particulier donc les diagonales aussi.
Maintenant, démontre que les diagonales d'un carré se coupent. Ceci revient à résoudre le problème de départ.

[Dlzlogic]

A Mathusalem,
Non c'est pas un cas particulier du problème posé, mais le problème posé est un cas particulier du cas général, puisqu'on est dans un carré. Et j'essaye justement de profiter de ce cas particulier (courbes ayant un début et une fin, contenues dans un carré) pour faire une démo "plus simple"