Une forme faible du théorème de Jordan

[Mathusalem]

Non c'est pas un cas particulier du problème posé,

Tu remplaces deux courbes continues par deux diagonales..

[beagle]

J'arrive pas à voir pourquoi le théorème de passage des douanes ne suffit pas...

Ben, ce théorème ne parle pas d'un carré et de deux courbes qui se croisent ou non,
donc on écoute ta démonstration:
j'imagine que tu définis un espace topologique connexe (j'ai retrouvé du vocabulaire qui fait riche!), lequel?
et que patati patata donc elles se croisent...

[Judoboy]

Bah on est dans R² muni de la topologie usuelle, j'appelle A,B,C,D, respectivement les points (0,0), (0,1), (1,1), (1,0). La courbe qui va de B à D définit avec les 2 segments [BA] et [AD] une partie du plan, A est à l'intérieur de cette partie et C est à l'extérieur donc la courbe continue (donc connexe) qui va de A à C doit rencontrer la frontière de cette partie du plan.

Bon je crois que j'ai utilisé le théorème de Jordan en fait.

[Skullkid]

Judoboy, oui tu utilises Jordan pour dire que les courbes coupent le carré en plusieurs composantes connexes.

[beagle]

mouais bof, cela dit de façon un peu maths, ce qu'on peut dire en langage commun.

Les points A,B,C et D sont sur la courbe qui délimite les espaces topologiques connexes,
comme ils ne sont pas à l'intérieur,
il y a des trajets internes et des trajets externes qui ne se coupent pas.
Donc ce n'est pas l'enthousiasme!
Quand je pense à toutes les pages d'explications refusées par ffpower, Ben314 et doraki aux braves et méritants nodjim et beagle!!!

[ffpower]

Bonjour,
J'ai pensé à une autre démo. On discrétise à l'infini chacune des courbes, puis on remplace un point sur 2 par la moyenne du précédent et du suivant, sauf le premier et le dernier.
Puisque les courbes appartiennent au carré, chaque point servant à calculer les moyenne aussi et les milieux aussi.
Au bout de toutes ces "simplifications" il ne reste que les diagonales du carré, qui, comme chacun, sait se coupent.

C'es une approche interessante, qui peut peut être aboutir (j'avais aussi essayé une approche analogue jadis). Il reste cependant une difficulté non anodine: montrer que la résolution du problème pour des courbes simplifiées implique la résolution pour les courbe non simplifiées.

[beagle]

C'es une approche interessante, qui peut peut être aboutir (j'avais aussi essayé une approche analogue jadis). Il reste cependant une difficulté non anodine: montrer que la résolution du problème pour des courbes simplifiées implique la résolution pour les courbe non simplifiées.

Dans le fil précédent, j'avais aussi proposé une telle méthode.
Pour cela on peut utiliser le théorème du matelat pneumatique.

Théorème du matelat pneumatique:
Tout espace topologique connexe, ie un matelat pneumatique,
peut ètre étiré, ie gonflé,
sans changer sa connexité, ie le matelat reste gonflé.

démonstration:
soit un matelat pneumatique, si de le gonfler lui enlève sa connexité,
alors il existe un trajet de dedans à dehors qui ne traverse pas l'enveloppe,
en bref le matelat est crevé.
Or sauf cas extrème d'exagération du gonflage, on montre que le matelat est crevé ou non,
avant le gonflage, et que donc ce n'est pas le gonflage qui a changé la connexité.

PS:Il existe plus sérieux mais c'est pas sur les sites internet gratuit.
Je vais encore écorcher les termes exacts,
il existe une branche de la topologie? qui étudie sérieusement cette fonction d'étirement?, d'élasticité?
j'avais trouvé des trucs, mais c'est out of my compétence.

[beagle]

Maintenant, si on prend un cas simplifié où la courbe de départ:
-est débouclée
-est détachée ou sans attache aux bords du carré

Alors comme pour une fenètre windows, on prend un coin du carré,
on étire le carré de façon à tendre la courbe qui relie A et C par exemple,
jusqu'à ce que bien tendue elle devienne une diagonale du carré agrandi.
Et comme on n'a pas modifié la connexité, on démontre sur le carré avec une diago.

démonstration sur le carré et diago:
tout carré est formé d'un triangle rectangle isocèle, ABD rectangle en A, BD est hypoténuse,
et du triangle rectangle symétrie axiale du premier, par axe BD, appelé triangle BCD.
Pour tout point M du triangle ABD, il existe un point M' de BCD, tel que le segment MM' coupe une seule fois BD, au mileu de MM'.Donc on sort de ABD pour aller en BCD.
La courbe CA peut relier C et A uniquement par l'extérieur de ABD.
PS: mais non beagle,
mèmes réserves que pour judoboy, reste à démontrer que l'on ne peut pas passer par l'extérieur de ABD si on reste dans le carré.Bref, c'est pas fait du tout comme ça.faut encercler l'extérieur, Qs la fameuse boucle externe.
Donc on forme une boucle externe BD, et on a un espace topologique BD formé de BD diago et BD courbe extérieure au carré.Dans cet espace on enlève donc les cotés du carré AB et AD, ce qui forme un espace topologique connexe où tout point de BCD est extérieur.Donc maintenant que A est interne et n'est plus bord, A interne donc AC doit traverser l'espace connexe BD.Il ne peut pas le traverser par BD courbe extérieure, il doit traverser BD diago.
On y est presque non?

[beagle]

Pour les boucles,
la fonction d'étirement ne permet pas de déboucler à priori,
en tirant on va au maximum je pense réduire la boucle à un point, enfin j'imagine.
Bon, le mieux est de nettoyer la courbe et de lui enlever ses boucles, = elle ne repasse jamais par un mème point, non,Cette partie est pour doraki.

Pour les attaches aux bords,
il faut faire l'inverse, toute courbe non attachée aux bords peut ètre accrochée secondairement aux bords, et cela ne peut pas diminuer la connexité, bon cette partie c'est ffpower qui la fera.

[Dlzlogic]

C'es une approche interessante, qui peut peut être aboutir (j'avais aussi essayé une approche analogue jadis). Il reste cependant une difficulté non anodine: montrer que la résolution du problème pour des courbes simplifiées implique la résolution pour les courbe non simplifiées.

Bonjour,
Oui, puisque le point moyen à chaque simplification correspond aussi à l'hypothèse de départ. Autrement dit, on peur faire l'opération dans les deux sens, puisqu'on ne perd ni ne rajoute d'information, et surtout on ne fait aucune hypothèse supplémentaire.
Je reprend le cas du trajet "à pied sec d'un point à un autre", la courbe entre les deux points peut être comparée à la ligne de crête.
C'est toujours très difficile de démontrer des choses presque évidentes, soit il faut revenir à des notions de bases et fondamentales, soit au contraires, on utilise des méthodes infiniment compliquées.

[Judoboy]

Euh ça veut dire quoi discrétiser une courbe à l'infini ?

[Dlzlogic]

Euh ça veut dire quoi discrétiser une courbe à l'infini ?

Bonjour,
Avec le nouveau langage, je m'y perds un peu.
Une courbe est formée de points. Il existe une infinité de points sur une courbe. Un point est à prendre dans le sens purement géométrique, et en particulier la relation d'ordre existe. On peut donc écrire qu'il y a trois points successifs P1, P2, P3. Naturellement ces trois points sont infiniment proches. On peut donc remplacer le point P2 par le milieu de P1P3, puis comme il n'apporte plus d'information particulière, le supprimer et ainsi simplifier la ligne.
Naturellement ceci est vrai dans le cadre de la géométrie qu'on m'a apprise. En tout cas, cette géométrie m'a permis de résoudre les problèmes posés par l'informatique graphique (2D, 2.5D, 3D).
Si on change les règles de la nature en général et de la géométrie en particulier, il serait bon de les préciser au préalable. Il y a toujours des choses que l'on peut déclarer possibles (resp. impossible) sur le papier. C'est très bien dans des discussions, mais si on veut appliquer les maths au réel, ça marche plus.

[Skullkid]

Je trace un segment, je peux associer à chaque point un réel. Mettons que je gradue avec les réels de 0 à 1. Tu peux me donner les réels associés à trois points successifs ?

[Dlzlogic]

Sous-entendu, "je ne peux pas". Libre à toi d'en être persuadé.
C'est tout de même marrant, quand je dis que quelque-chose est impossible matériellement parlant, tu me réponds SI mais sans apporter ni preuve, ni exemple, quand j'essaie d'apporter une démonstration simple, comme demandé dans ce topic, tu trouves le moyen de dire que c'est pas possible.
Alors je vais essayer une autre explication.
Autrefois on différenciait logique et analogique, maintenant, on dit discret ou continu. L'exemple type d'analogique est une montre ou un ampère-mètre ou tout autre appareil de mesure à aiguille. Les appareils à affichage digital étaient appelés à affichage logique.
Ose me dire qu'avec une montre à aiguille on ne peut pas lire l'heure.

Quand on fait de l'informatique graphique, que ce soit en tant que développeur ou utilisateur, on travaille avec des réels : OUI ou NON, on peut diviser une ligne en éléments dénombrables : OUI ou NON [une ligne : succession continue de segments de droite et d'arcs de courbe].

Voyons le problème autrement : on souhaite expliquer à des élèves cette notion de frontière, c'est à dire leur faire comprendre une réalité.
Manifestement les notions utilisées par Jordan sont hors de leur portée. Pour avoir un approche possible à expliquer, on a pris le cas particulier d'un espace limité à un carré, les deux courbes ayant un début et une fin. Si tu arrives à leur expliquer qu'on "ne peut pas simplifier la ligne en supprimant un point sur deux de proche en proche", je veux bien, mais il faudrait préciser la définition des mathématiques.
Quand tu auras à expliquer la notion de limite, là tu risques d'avoir du mal.

Evidemment, j'ai cru comprendre que le notion de dérivée était enseignée AVANT le notion de limite. Ce qui complique sérieusement les choses.

[Skullkid]

Quel rapport entre ton post et ma question ? Tu parles de trois points consécutifs sur une courbe, je te dis que ça correspond à trois réels consécutifs (es-tu d'accord avec ça, déjà ?), donc je te demande de me citer trois réels consécutifs.

Pas de logique/analogique/discret/continu/Jordan/dérivées/limites...

[Dlzlogic]

J'ai parlé de points successifs et non de points consécutifs.
Successif résulte d'une relation d'ordre, ce que tu peux toujours contester.
Donc P2 peut être le milieu de la courbe, c'est à dire situé à la moitié de l'abscisse curviligne totale, la longueur, si tu préfères, P1 à l'abscisse curviligne de P2 - epsilon et P3 à l'abscisse curviligne de P2 + epsilon.
Mais j'ai l'impression que tu as complètement perdu de vue la question de Le_Chat et que tes interventions n'ont pour seul but que montrer que j'ai tort. Si c'est ton plaisir, tant mieux. :triste:

[Skullkid]

Le_chat a déjà eu la réponse à son problème, je m'intéresse à ta proposition de démonstration parce que je ne vois pas en quoi ça démontre quoi que ce soit.

Au temps pour moi, tu parles en effet de points successifs et non consécutifs. Pour moi ça veut dire la même chose, surtout que tu as dit que ces points sont infiniment proches, ce qui n'est pas le cas des réels x-epsilon, x et x+epsilon, mais passons. Comment comptes-tu démontrer que le fait que les diagonales du carré se coupent implique que n'importe quel couple de courbes reliant deux côtés opposés du carré se coupent également ?

C'est la question que ffpower t'a posée, ce à quoi tu as répondu que tu transformais les courbes de façon à "ne perdre aucune information". Ça c'est quelque chose de testable en vrai, si je ne m'abuse. J'ai dessiné une ligne polygonale (comme tu les aimes) qui joint les deux points A de coordonnées (0,0) et B de coordonnées (0,1), j'ai effectué ta transformation plusieurs fois et à la fin j'obtiens le segment [AB]. Quelle était la courbe de départ ?

[Dlzlogic]

D'abord un premier point : j'ai attendu un certain nombre d'échanges avant d'intervenir, et ce n'est pas "à moi" que la question a été posée mais aux membres de ce forum. Je n'ai pas à me justifier concernant ma tentative de démonstration, je l'ai simplement proposée, avec toutes les précautions d'usage.

Tu dis que ces points "ne sont pas infiniment proches". Toi, tu sais donc définir ce qui est "infiniment" ? moi pas.

Pour "démontrer" que les diagonales d'un carré se coupent, je réalise un pliage d'un carré suivant les 4 1/2 diagonales, j'obtiens une sorte de pyramide et j'observe que ces 4 demi-droites sont des lignes de partage des eaux. Ca ne serait pas le cas si elle étaient parallèles et en géométrie, on a décidé que les parallèles n'avaient pas de point d'intersection.

Quant à ton expérience de simplification, si tu avais pris soin de mémoriser la suite des simplifications tu pourrais constater, en refaisant la succession des opérations dans le sens inverse, que tu retrouves bien la courbe d'origine. Ce type de raisonnement me fait penser à la méthode des listes chainées. Cette comparaison est d'autant plus vraie qu'on peut la parcourir dans les deux sens, supprimer un ou plusieurs éléments, insérer un ou plusieurs élément, et là ou ça explose, c'est justement s'il n'y a pas continuité et relation d'ordre. De la même manière, si on a perdu l'origine (ou l'extrémité), c'est foutu.

[Le_chat]

Salut, je passe en coup de vent entre deux oraux pour dire que l'idée de Dlzlogic mène à quelque chose.

Dans la réponse (laborieuse) au problème qu'on m'avait fourni, on procède par l'absurde en supposant que les courbes ne se croisent pas. Comme c'est des compacts, elles sont à une distance e>0 l'une de l'autre.

On les approche alors par des "lignes brisées" en approchant à moins de e/2 les coordonnées par des fonctions en escalier. Ces lignes brisées ne se coupent pas, vu qu'on les approche d'assez près. Je crois que c'est ça le fond de l'idée de Dlzlogic.

Ensuite on bidouille un peu pour montrer qu'on peut supposer que les lignes brisées restent dans le carré. Pour conclure, on avait besoin de supposer que les abscisses des points où il y a un "changement de pente" sont tous distincts (on décale un peu les courbes de e/8 et ça marche), ce qui permettait de découper le carré en tranches verticales telle que chacune des tranches ne contienne qu'un "changement de pente".

Ensuite c'est un peu tendu de finir sans dessin, mais grâce à ces simplifications on peut définir proprement une notion de " la courbe 1 est au dessus de la courbe 2", et on voit que la courbe 1 est toujours en dessous de la 2 ce qui est faux.

[Judoboy]

Le post de Ben314 finalement c'est un peu une démonstration du théorème de Jordan non ?