Polynomes irréductibles dans C[x,y]

Bonjour,

Je voudrais vérifier que j'ai bien compris avt l'examen...
Merci de commenter mes solutions !

donc ce polynome est réductible dans

est irréductible car :
Par absurde, si il est irréductible , il a une racine ( polynome de degré 2 en Y à coeff dans C[X] ) et donc la racine divise ( le terme constant ) . Les racines possibles sont . Ce qui est absurde ( je l'ai essayé une par une) donc Le polynome est irréductible dans C[X,Y].

est irréductible car :
Prenons ce polynome comme un polynome en Y à coeff dans C[X].
Si le polynome est réductible (+ de degré 3 ), il a une racine, celle ci divise le terme constant qui est X . Donc la racine est soit 1 soit -1 soit X soit -X. ABSURDE.

Même idée avec le polynome Y^3 - XY + X^2.
Les racines possibles sont . ABSURDE !

est irréductible.
En effet, j'utilise le critère d'eisenstein :
p=X est irréductible dans K[X]
p divise X
p divise X^2
p ne divise pas 1
p^2 ne divise pas X
Donc le polynome est irréductible dans

Même idée avec le polynome

Merci bcp de me corriger ...

Emilie62 a écrit: est irréductible car...

X²+Y²=(X+iY)(X-iY) donc pas irréductible dans C[X].
Je crois que les autres exemples que tu traites sont faux aussi, au moins le raisonnement.

Vraiment ?!

Je suis d'accord pour X^2 +y^2... Jsuis passée à coté !


POUR LE RESTE :mur: !

Merci qd même

Oui c'est très juste ce que dis Yos , faut que tu fasse attention. en général il est pas évident de savoir qi un polynome à plusieurs variables est irréductible ou pas . Y'en a qui se voient à "l'oeil nu" mais d'autres moins ....

Et il faut avoir en tête le fait que tu travaille dans le corps magique C des nombres complexes .

Okkkk ! ! ! En gros, j'ai rien compris !
Est ce que le raisonnement des deux dernières est correct ?

Ensuite pour les autres si je rajoute les racines là c'est bon ou pas ?

Merciiiii

NOUVELLE QUESTION??? :hein:
Pourquoi l'ideal engendré par P (noté (P)) est maximal dans C[X] si P est irréductible (avec biensur la condition que C[X] soit principal ) ?
Merci d'avance pour tout aide!

Emilie62 a écrit:

est irréductible car :
Prenons ce polynome comme un polynome en Y à coeff dans C[X].
Si le polynome est réductible (+ de degré 3 ), il a une racine, celle ci divise le terme constant qui est X . Donc la racine est soit 1 soit -1 soit X soit -X. ABSURDE.

Je pense qu'il est en effet irréductible.
Pourquoi ne pas plutot le voir comme un plynome de degré 2 en X à coeff dans C[Y] ?

Emilie62 a écrit:Bonjour,




Même idée avec le polynome

Pour celui là pas besoin , il est de degré 1 en Y .

Daniel-Jackson a écrit:Je pense qu'il est en effet irréductible.
Pourquoi ne pas plutot le voir comme un plynome de degré 2 en X à coeff dans C[Y] ?

Euh... ça me parraissait plus simple... c'était ma 1ere idée !
Ai-je le droit ?

bonjour

si l'idéal engendré par P n'était pas maxi il serait inclus dans un ideal I strict
I est engendré par un polynôme Q non constant et donc

Q serait diviseur de P ce qui contredit que P est irréductible

Emilie62 a écrit:NOUVELLE QUESTION??? :hein:
Pourquoi l'ideal engendré par P (noté (P)) est maximal dans C[X] si P est irréductible (avec biensur la condition que C[X] soit principal ) ?
Merci d'avance pour tout aide!

je répondais à ça

Emilie62 a écrit:NOUVELLE QUESTION??? :hein:
Pourquoi l'ideal engendré par P (noté (P)) est maximal dans C[X] si P est irréductible (avec biensur la condition que C[X] soit principal ) ?
Merci d'avance pour tout aide!

Dans C[X] , les iréductibles sont les les polynome de degré 1 , donc c'est plutot normal que les idéaux qu'ils engendrent soient maximaux .

Daniel-Jackson a écrit:Pour celui là pas besoin , il est de degré 1 en Y .

Et donc ?
Les polynomes de degré 1 de C sont irréductibles!
Donc irréductible !

Emilie62 a écrit:Euh... ça me parraissait plus simple... c'était ma 1ere idée !
Ai-je le droit ?

Oui oui tuas le droit de'observer le polynome sous toutes les coutures :we:

Daniel-Jackson a écrit:Oui oui tuas le droit de'observer le polynome sous toutes les coutures :we:

OUffff ! On est sauvé ! :zen:
Par contre , pour mes 2 derniers polynomes ac le critère d'Eisenstein , ça te parait correct ?

Et.... encore merci !

Emilie62 a écrit:Et donc ? Pas de racines (la seule est X^2)... donc irréductible ?

Non juste qu'un polynome de degré 1 de peut s'écrire comme un produit de deux polynome de dégré différent de 0 a eux deux .
Je m'explique s'il était réductible tu pourrai l'écrire comme un produit de 2 polynom Q et R . Sachant que la somme du deg(Q) et deg(R) en Y doit faire 1 , c'est que parmi R et Q , il y'en a un qui ne contient que des X , c'est à dire de degré 0 en Y . et ça c'est pas possible , tu vois un peu le truc ?

fahr451 a écrit:bonjour

si l'idéal engendré par P n'était pas maxi il serait inclus dans un ideal I strict
I est engendré par un polynôme Q non constant et donc

Q serait diviseur de P ce qui contredit que P est irréductible

Tu as montré P non max => P réductible
Donc P irréductible => P max ( c'est la contraposée, je crois ?)

Daniel-Jackson a écrit:Non juste qu'un polynome de degré 1 de peut s'écrire comme un produit de deux polynome de dégré différent de 0 a eux deux .
Je m'explique s'il était réductible tu pourrai l'écrire comme un produit de 2 polynom Q et R . Sachant que la somme du deg(Q) et deg(R) en Y doit faire 1 , c'est que parmi R et Q , il y'en a un qui ne contient que des X , c'est à dire de degré 0 en Y . et ça c'est pas possible , tu vois un peu le truc ?

Ouiii !
De toute fcn, les polynomes de degré 1 de C[X] sont TOUS irréductibles , non?

Emilie62 a écrit:Ouiii !
De toute fcn, les polynomes de degré 1 de C[X] sont TOUS irréductibles , non?

Oui en plus !

Donc pas besoin de sortir un marteau pillon pour enfoncer la punaise quoi :we:

Emilie62 a écrit:Tu as montré P non max => P réductible
Donc P irréductible => P max ( c'est la contraposée, je crois ?)

non c'est juste ce qu'il a dit , il le fait par l'absurde .