Arithmétique

[superkader5]

Bonjour,


Il y a une question que je n'arrive vraiment pas à faire : on suppose u et v strictement positifs et premiers entre eux et de parités distinctes. Démontrer que 2uv, u²-v² et u²+v² sont premiers entre eux 2 à 2.


J'ai supposé u paire et v impaire et j'ai remarqué que 2uv est paire , u²-v² impaire et u²+v² impaire. J'ai aussi considéré d=pgcd( 2uv, u²-v²) donc d divise 2uv et d divise u²-v². En fouillant un peu sur le net j'ai pu voire que si d divise 2uv alors d divise uv ( pas compris) ensuite d divise u ou d divise v (Gauss). On choisit d divise par exemple v. Donc d divise v² et donc d divise u²-v²+v² donc d divise u². On peut en déduire que d divise u (pas compris).


Donc au final d divise v et d divise u , or u et v sont 1er entre eux donc d=1

[Maxmau]

bj
rappel: on ne change pas le PGCD de 2 entiers en retirant (ou en ajoutant) à l'un un multiple de l'autre.
PGCD(u²+v²,u²-v²) = PGCD(u²+v²,2u²)
PGCD(2uv,2u²)=2uPGCD(u,v)=2u
Donc
D=PGCD(2uv,u²+v²,u²-v²)=PGCD(2uv,u²+v²,2u²)=PGCD(2u,u²+v²)

PGCD(u,u²+v²)=PGCD(u,v²)=1 car u premier avec v est aussi premier avec v²
u²+v² est impair donc PGCD(2,u²+v²)=1

u²+v² premier avec 2 et avec u est donc premier avec 2u donc D=1