Intégrale par partie

[helpmeplease1993]

Bonjour je dois trouvé la réponse de cette intégrale entre 1 et e.
l'intégrale de: cos(PI log(x))

j'ai hébergé l'image de mon raisonement sur ce site: http://imageshack.us/photo/my-images/233/photoent.jpg/


mais a la fin je trouve que l'intégrale est 0 alors je trouve ca bizard ^^
si quelqu'un peu m'aider..

[adrien69]

Salut,
Ton intégration du est fausse.
Je pense que faire une IPP dès le départ (mal rédigée en passant, mais puisque ce n'est qu'un brouillon...) ne te mènera pas au résultat. Essaie un changement de variable.
Et en passant je pense que ton logarithme n'est pas décimal mais népérien. Sans quoi que viendrait faire e ici ?

[mee89]

svp j ai besoin de votre aide
Enoncé de l'exercice
On définit (f_n ) suite de fonctions de [0,pi/2] vers R par :
f_n (x)=nsin(x) (cos)^n (x)
Calculer l’intégrale ;);)f_n (x)dx;)sur [0,pi/2]

merciiiii

[chan79]

Bonjour je dois trouvé la réponse de cette intégrale entre 1 et e.
l'intégrale de: cos(PI log(x))

j'ai hébergé l'image de mon raisonement sur ce site: http://imageshack.us/photo/my-images/233/photoent.jpg/


mais a la fin je trouve que l'intégrale est 0 alors je trouve ca bizard ^^
si quelqu'un peu m'aider..

tu peux chercher une primitive de la forme (ax+b)sin(ln(x))+(cx+d)cos( ln(x))
tu dérives et ça te donne a, b, c et d
j'arrive au résultat

[adrien69]

svp j ai besoin de votre aide
Enoncé de l'exercice
On définit (f_n ) suite de fonctions de [0,pi/2] vers R par :
f_n (x)=nsin(x) (cos)^n (x)
Calculer l’intégrale ;)f_n (x)dx;)sur [0,pi/2]

merciiiii

Tu n'avais pas à poster ça ici. Je te répondrai donc simplement "évident".

[adrien69]

tu peux chercher une primitive de la forme (ax+b)sin(ln(x))+(cx+d)cos( ln(x))
tu dérives et ça te donne a, b, c et d
j'arrive au résultat

Je trouve ça un peu deus ex machina comme solution. Plus naturellement on peut faire un changement de variable puis utiliser les formules d'Euler pour exprimer le cosinus sous forme d'exponentielle (ou bien utiliser le fait que c'est la partie réelle d'exp(ix), en se souvenant que la partie réelle se comporte bien vis à vis de la linéarité et de la multiplication par des réels.

[Black Jack]

Avec 2 intégrations par parties successives.

S cos(Pi.ln(x)) dx

Poser u = cos(Pi.ln(x)) --> du = -(Pi/x).sin(Pi.ln(x)) dx
et poser dx = dv ---> v = x

S cos(Pi.ln(x)) dx = x.cos(Pi.ln(x)) + Pi S sin(Pi.ln(x)) dx

S(de1àe) cos(Pi.ln(x)) dx = [x.cos(Pi.ln(x))](de1àe) + Pi . S(de1àe) sin(Pi.ln(x)) dx

S(de1àe) cos(Pi.ln(x)) dx = -(1+e) + Pi . S(de1àe) sin(Pi.ln(x)) dx (1)
***
S(de1àe) sin(Pi.ln(x)) dx

Poser u = sin(Pi.ln(x)) --> du = (Pi/x).cos(Pi.ln(x)) dx
et poser dx = dv ---> v = x

S sin(Pi.ln(x)) dx = x.sin(Pi.ln(x)) - Pi S cos(Pi.ln(x)) dx

S(de1àe) sin(Pi.ln(x)) dx = [x.sin(Pi.ln(x))](de1àe) - Pi S(de1àe) cos(Pi.ln(x)) dx

S(de1àe) sin(Pi.ln(x)) dx = 0 - Pi S(de1àe) cos(Pi.ln(x)) dx (2)
***
(2) dans (1) --->

S(de1àe) cos(Pi.ln(x)) dx = -(1+e) + Pi . S(de1àe) sin(Pi.ln(x)) dx

S(de1àe) cos(Pi.ln(x)) dx = -(1+e) - Pi² . S(de1àe) cos(Pi.ln(x)) dx

(1 + Pi²) * S(de1àe) cos(Pi.ln(x)) dx = -(1+e)

S(de1àe) cos(Pi.ln(x)) dx = -(1+e)/(1 + Pi²)

:zen:

[chan79]

Je trouve ça un peu deus ex machina comme solution. Plus naturellement on peut faire un changement de variable puis utiliser les formules d'Euler pour exprimer le cosinus sous forme d'exponentielle (ou bien utiliser le fait que c'est la partie réelle d'exp(ix), en se souvenant que la partie réelle se comporte bien vis à vis de la linéarité et de la multiplication par des réels.

je trouve que c'est une conjecture raisonnable, compte tenu des dérivées de sin, cos et ln

[adrien69]

je trouve que c'est une conjecture raisonnable, compte tenu des dérivées de sin, cos et ln

Pas faux. Je n'ai juste pas beaucoup d'imagination.