Corps engendré par une partie !

[barbu23]

yos , bonjour:
Pour l'irréductibilité de - :
On resout l'equation : - et on regarde si les racines sont distinctes et n'appratiennent pas à .
On pose : .
l'équation devient : -
.
.
.
.




.
est irreductible dans parcequ' il n'existe pas deux polynômes non constants et dans tel que :
.( combine les facteurs de , il y'a combien de cas en fait ? : ben il faut les calculer !!! aucune de ces cas n'est de cette forme )
n'est ce pas yos ?

[barbu23]

:help: pls !!!

[barbu23]

:help: pls !!

[Imod]

Si tu veux un correcteur très assidu , il va falloir penser à rémunérer yos qui t'a déjà bien aidé :zen:

Sinon , tu peux aussi essayer de penser tout seul !!!

Imod

[yos]

Si tu veux un correcteur très assidu , il va falloir penser à rémunérer yos

Bonne idée. J'envoie un RIB à Barbu 23.

Plus sérieusement : ta méthode pour l'irréductibilité est bonne, ça prouve donc que est de degré 4 sur Q et ça évite de faire l'inclusion inverse. Donc, avec ton message de 3h du mat' tu as tout bon.
Mon message d'hier pour prouver directement l'inclusion inverse devient inutile, mais il est bon de savoir faire cette méthode aussi.

Continue! Ca rentre.

[barbu23]

Bonjour:
Soit : : un isomorphisme de corps.
Est ce que l'image d'un polynôme irréductible quelconque de par est un polynôme irréductible dans ..
Si oui, pourriez vous me donner une démonstration de cette propriété !!
et merçi infiniment !!

PS : Imod, j'ai pas de fric pour payer yos ... j'ai 0 Euros dans mon compte...:lol2: j'ai que quelque sou dans ma poche ... non mais, je vais pas vous mentir, j'ai même pas de compte bancaire ... :king:

[Imod]

Tu vois les détails avec yos , mais comme j'ai eu l'idée le premier , je demande 10% : c'est la moindre des choses :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr:

Imod

[yos]

C'est un isomorphisme de corps.
et l'isomorphisme d'anneau qu'il induit.
Tu montres que réductible sur K'[X] entraîne réductible sur K[X] : si P=QR dans K'[X], alors .

[barbu23]

Bonsoir:
D'après vous, quels sont les points necessaires qu'il faut retenir dans tous le cours de la théorie des corps et la théorie de Galois ...
et merçi d'avance !!

[barbu23]

Merçi yos pour ta reponse !!!

[barbu23]

Bonsoir:
D'après vous, quels sont les points necessaires qu'il faut retenir dans tous le cours sur la théorie des corps et la théorie de Galois ...
et merçi d'avance !!

[yos]

Tout!
A la rigueur tu peux laisser de côté l'aspect séparabilité si tu travailles toujours entre Q et C.

[barbu23]

Bonjour:
J'ai deux questions à vous poser en ce moment, et merçi d'avance pour vos réponses :
1)
Soit un corps.
Soit : .
.
est un homomorphisme d'anneaux ( c'est facile à vérifier ).
Ma question est :
Pourquoi est le plus petit sous anneau de contenant .
je suis d'accord avec le fait que : est un sous anneau de contenant , car est anneau et est un homomorphisme d'anneau de dans , donc est un sous anneau de , et . Mais je ne vois pas comment montrer qu'il le plus petit des anneau de contenant
2)
Comment montrer que est le plus petit sous corps de contenant ..?
Cette question survient comme exemple après un théorème cité dans le cours, et ce théorème est le suivant :
Le corps premier d'un corps ( c'est à dire le plus petit sous corps de contenant ) est isomorphe à si le caractéristique de est , et isomorphe à si cette caractéristique est non nul.( avec; est l'idéal de engendré par ) .
Si la réponse n'exige pas l'utilisation de ce théorème, tant mieux !!
et merçi infiniment !!!

[yos]

1) Si un sous-anneau de K contient 1, il contient 1+1, puis (1+1)+1, etc, donc il contient nX1 pour tout entier naturel n. De plus il contient les opposés de ses éléments, donc il contient nX1 pour tout entier n. Bref, on peut pas faire plus petit que Im(u).

2) Même raisonnement. Tu as 1, donc tu as Z, et comme dans un corps on a les inverses des éléments non nuls, on a 1/2, 1/3, ... et même leurs opposés. Si tu veux 3457/987, tu multiplies 1/987 par 3457. Bref, c'est pareil : on peut pas faire plus petit que Q.

[barbu23]

Yos merçi pour ta reponse !!
J'aimerai que vous m'expliquiez un autre théorème et sa démonstration que j'ai du mal à comprendre, et merçi d'avance !!
Théorème:
Soit le corps premier de ( c'est à dire le plus petit sous corps de contenant ).
Nous avons : .
Soit : le corps des racines de sur .
Alors :
Si la caractéristique de est nulle ou si ne divise pas alors contient racines ièmes de l’unité distinctes.
Démonstration:
Il suffit de prouver que les racines du polynôme sont toutes simples. Sinon, et son polynôme dérivé ont une racine commune. Or est la seule racine de [COLOR="red"]car ou est non divisible par [/COLOR] . Comme n'est pas une racine de , toutes les racines de sont simples et en contient .
Question :
Les passages que je n'ai pas compris sont en rouge, soulignés !! parceque est racine de sans que ou soit non divisible par , je ne sais pas pourquoi on a introduit ce passage dans la démonstration !!!
et merçi infiniment !!

[yos]

Tu bloques sur des trucs simples...
Quelles sont les racines de sachant que n est non nul dans le corps considéré.

En caractéristique 2, le polynôme dérivé de est nul car 6=0 dans ce corps.

[barbu23]

Yos :++: !

[barbu23]

j'ai oublié de repondre à ta question ...
Si la caractéristique ne divise pas alors : ..
avec: .. et les racines de : !!

[barbu23]

Bonjour:
j'ai une petite question à vous poser:
On a le théorème suivant:
Soit un corps fini.
Soit le corps premier de .
Si , alors: alors est une puissance de la caractéristique de .
Voiçi la démonstration du théorème:
est un espace vectoriel.
Si : alors: .
Ma question est :
Pourquoi : ?.
et merçi infiniment !!!

[yos]

Salut.
Tu as .
Im f est égal (ou isomorphe) à Z/pZ pour un certain premier p qu'on appelle la caractéristique de K. Tu vois bien que Z/pZ est un sous-corps de K. Et on peut pas faire plus petit. Donc le sous-corps premier de K que tu notes P, c'est bien Z/pZ. Cela doit figurer plus haut dans ton cours, lorsqu'on définit la notion de sous-corps premier. Notion facile car c'est Q en caractéristique 0 et Z/pZ en caractéristique p.