Corps engendré par une partie !

par **barbu23** » 25 Juin 2007, 20:54

Bonjour:
C'est la première fois que je vais étudier un cours sur la théorie de Galois !
J'ai une petite question sur ce sujet:
Comment démontrer que

avec

le corps des complexes et

le corps des réels !!
et merçi infiniment !!

par **yos** » 25 Juin 2007, 20:55

Bonsoir.
Il n'y a pas de corps entre R et C.

par **barbu23** » 25 Juin 2007, 20:58

j'ai oublié de preciser que:

est le corps engendré par

sur

.. C'est le sous corps de

engendré par la partie

.. la même chose pour

.. et merçi d'avance !!

par **barbu23** » 25 Juin 2007, 21:00

Yos, c'est pas moi qui le dit.. j'ai tiré ça du cours !!

par **barbu23** » 25 Juin 2007, 21:03

R(i) et R(1+i) verifient C = R(i) = R(1+i) .. je vois pas de quels corps tu parles yos...R(i) et R(1+i) sont precisement le corps C !!

par **yos** » 25 Juin 2007, 21:06

Tu es d'accord que

?
Si oui, je te répète qu'il n'y a pas de corps strictement entre R et C, donc R(i) est égal à R ou à C. Pour lequel tu penches?

par **fahr451** » 25 Juin 2007, 21:09

entre les deux mon coeur balance

par **sarmate** » 25 Juin 2007, 21:09

Si on considère le polynôme P(X)=bX+a-b, on a que P(1+i)=a+ib, si cela peut t'aider.

par **yos** » 25 Juin 2007, 21:11

barbu23 a écrit:Yos, c'est pas moi qui le dit.. j'ai tiré ça du cours !!

Je critique pas ton exo. Je te donne une piste (une autoroute).

par **yos** » 25 Juin 2007, 21:12

Rain' a écrit:Ce que vous appelez R(i) c'est {k*i | k R } ? ou pas ?

Non! c'est le plus petit sous-corps de C contenant R et i. Evidemment, c'est C lui-même. Reste un argument à donner pour ça, mais bon, Barbu23 peut réfléchir.

par **sarmate** » 25 Juin 2007, 21:13

Rain' a écrit:Ce que vous appelez R(i) c'est {k*i | k R } ? ou pas ?

R(X) est le corps des fractions de R[X], R(i) est l'image de R(X) par l'application qui remplace X par i... enfin il me semble...

par **barbu23** » 25 Juin 2007, 21:17

par **yos** » 25 Juin 2007, 21:24

Rain' a écrit:Comment ça se prouve ?

Et comment on justifie R inclus dans R(i) ?

La première question : utilise le fait que lorsqu'un corps est inclus dans un autre, le grand est un ev sur le petit et regarde les dimensions.

Deuxième question : relis (lentement) la définition de R(i)

par **sarmate** » 25 Juin 2007, 21:28

Rain' a écrit:Comment ça se prouve ?

Et comment on justifie R inclus dans R(i) ?

Pour éviter cela tu peux passer par les polynômes comme je l'ai suggéré.

par **barbu23** » 25 Juin 2007, 21:28

; par définition ( d'après le cours ) , est le plus petit "sous-corps" de

( donc

) contenant

( donc

)

par **barbu23** » 25 Juin 2007, 21:35

la même chose pour :

.
en effet:

et comme il n'y'a pas de corps strictement entre

et

alors :

ou

.

car:

et

.
Par conséquent :

par **sarmate** » 25 Juin 2007, 21:36

Sinon on remarque que l'extension [C:R] est de degré 2. (si je n'ai pas trop oublié mon cours sur les corps)

par **yos** » 25 Juin 2007, 21:40

barbu23 a écrit: et comme il n'y'a pas de corps strictement entre et

C'est ce point que tu dois justifier par l'algèbre linéaire. Le reste est OK.

par **barbu23** » 25 Juin 2007, 23:27

Rebonsoir:
j'ai une autre question à vous poser :
Soit

une extension d'un corps

.
Soient

et

deux parties de

.
Ma question est :
Comment montrer que :

et merçi infiniment !!

P.S : Yos, je vois pas comment faire pour montrer qu'il n'y'a pas de corps strictement entre

et

:mur: !!!

par **sarmate** » 25 Juin 2007, 23:35

barbu23 a écrit:
P.S : Yos, je vois pas comment faire pour montrer qu'il n'y'a pas de corps strictement entre et :mur: !!!

Je me permet d'essayer de répondre à la place de Yos.

C est un R-ev de dimension 2. C'est l'extension de degré minimale... Toute autre extension de corps est au moins de dimension 2...

Corps engendré par une partie !

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