Partie stable et stabilisateur d'une partie

[Mulan]

Bonjour, je n'ai réussi que la question 1, merci de m'aider.

Exercice :

Soit G un groupe agissant sur un ensemble E.
Soit X inclus strictement dans E et g dans G.
On note g.X = { g.x, g dans G } : image de X par g.
On appelle stabilisateur de X l'ensemble Stab(X) des éléments g de G tels que g.X = X.

1) Montrer que tout X inclus dans E , Stab(X) est un sous groupe de G.

2) On considère ici l'action naturelle de G = GL(R²) sur E = R².
Si X C E est fini, a t-on nécessairement Stab(X) fini ?

3) Montrer que l'action de G sur E induit une action de Stab(x) sur X par restriction ( dite naturelle ).

4) Pour l'action naturelle de G = GL(R²) sur E = R² et les parties X suivantes, déterminer Stab(X) et étudier son action sur X. ( transitivité, orbites et stabilisateurs )
a) X = R(1,0)
b) X = R(1,0) U R(0,1)
c) X est formé de deux points A=(1,0) et B=(-1,0)
d) X est l'ensemble des sommets du triangle équilatéral A =(1,0), B=(cos(2pi/3), sin(2pi/3)) et C = (cos(4pi/3), sin(4pi/3)).
e) X est l'ensemble des sommets du rectangle A = (2,1), B = (-2,1), C =(-2,-1) et D =(2,-1)

Alors

1) Ok

2) J'aurai voulu utiliser la formule

Si G est un groupe fini alors pour tout x dans X on a !
| G | = | X.x | | stab(x) |

Mais ce n'est pas un groupe fini du coup je ne sais pas quoi faire

[Doraki]

On note g.X = { g.x, g dans G } : image de X par g.

t'aurais pas inversé g.X et G.x ?

si X est inclus dans Y, que peux-tu dire de Stab(X) et Stab(Y) ?

[Mulan]

si X est inclus dans Y, que peux-tu dire de Stab(X) et Stab(Y) ?

Stab(X) inclus dans Stab(Y) i e si x est dans stab(X) alors x est dans Stab(Y)

Donc :
X C E est fini

Stab(X) inclus dans Stab(E).

[Doraki]

si X est inclus dans Y, que peux-tu dire de Stab(X) et Stab(Y) ?

Stab(X) inclus dans Stab(Y) i e si x est dans stab(X) alors x est dans Stab(Y)

Donc :
X C E est fini

Stab(X) inclus dans Stab(E).

Euh, tu devrais vérifier ta preuve de
"si X est inclus dans Y et si g est dans Stab(X) alors g est dans Stab(Y)".

C'est quoi Stab(vide) ?

[Mulan]

Stab(vide ) bein ca n'existe pas vu que l'ensemble est vide

[Doraki]

Le stabilisateur est défini pour n'importe quel sous-ensemble de X.
L'ensemble vide est un sous-ensemble de X, donc le stabilisateur de l'ensemble vide existe.

D'après la définition, Stab(vide) = {g de G tel que pour tout x de l'ensemble vide, g.x est dans l'ensemble vide}.
Alors c'est quoi comme ensemble ?

[Mulan]

bein je dirais que c'est l'identité alors

[Doraki]

Tu penses que c'est {e} ?

Pour G = GL²(R), tu penses donc que par exemple l'automorphisme -id ne stabilise pas l'ensemble vide,
c'est à dire qu'il existe un couple (x,y) dans l'ensemble vide tel que (-x,-y) n'est pas dans l'ensemble vide ?

Je serais curieux de voir un tel couple.


Ah j'avais pas lu la définition de Stabilisateur, en fait y'a pas forcément de relation entre Stab(X) et Stab(Y) quand X est inclus dans Y.
Mais bon ça n'empêche pas de regarder Stab(vide) pour la deuxième question.