Divisibilité de nombres premiers

[algo1308]

Bonjour, j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre. Pourriez vous m'aider svp.

Montrer que n(n+1)(n+2) est divisible par 3.
J'ai remarqué que ce sont trois nombres consécutifs donc forcément l'un d'entre eux est divisible par 3 et le produit lui est donc aussi divisible par 3.
Pour démontrer j'ai mis :
Trois cas sont possibles :

n = 3k et donc n(n+1)(n+2) est divisible par 3

n = 3k+1 ; alors n+2 = 3k+3 = 3(k+1) et donc n(n+1)(n+2) est divisible par 3

n = 3k+2 ; alors n+1 = 3k+3 = 3(k+1) et donc n(n+1)(n+2) est divisible par 3


2) Montrer qu'un produit de k entiers consécutifs est divisible par k.
Par contre pour cette question je n'ai pas vraiment d'idee pour justifier rigoureusement bien que je pense que la methode soit reseemblante.

3) A quel condition sur k (k>= 2) , la somme de k entiers consécutifs est elle divisible par k ?
>=, plus grand ou égal

[chan79]

Bonjour, j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre. Pourriez vous m'aider svp.

Montrer que n(n+1)(n+2) est divisible par 3.
J'ai remarqué que ce sont trois nombres consécutifs donc forcément l'un d'entre eux est divisible par 3 et le produit lui est donc aussi divisible par 3.
Pour démontrer j'ai mis :
Trois cas sont possibles :

n = 3k et donc n(n+1)(n+2) est divisible par 3

n = 3k+1 ; alors n+2 = 3k+3 = 3(k+1) et donc n(n+1)(n+2) est divisible par 3

n = 3k+2 ; alors n+1 = 3k+3 = 3(k+1) et donc n(n+1)(n+2) est divisible par 3


2) Montrer qu'un produit de k entiers consécutifs est divisible par k.
Par contre pour cette question je n'ai pas vraiment d'idee pour justifier rigoureusement bien que je pense que la methode soit reseemblante.

3) A quel condition sur k (k>= 2) , la somme de k entiers consécutifs est elle divisible par k ?
>=, plus grand ou égal

Salut
pour le 2

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)...(n+k-1)==
soit le produit de k! par une combinaison (entier)

[algo1308]

Pourquoi on divise par (n-1)k ??

[algo1308]

Et que veut dire "k!" ??

[chan79]

Et que veut dire "k!" ??

factorielle k

3!=3*2*1=6
8!=8*7*6*5*4*3*2*1

[algo1308]

Ah ok car je n'ai jamais appris cela donc je ne sais pas si je peut le mettre.. En tout cas merci beaucoup pour l'aide. Mais pour la 3 comment je peu trouver la condition svp ?

[algo1308]

On ne peut pas faire une demo dans le meme type que celle de la 1 pour la question 2 ? Car je ne vois pas comment ecrire cette demonstration sans le "k!" car je ne l'ai pas appris...

[Nightmare]

Effectivement, tu peux appliquer exactement le même raisonnement en 2. que celui tenu en 1.

Le principe est toujours le même : n entiers consécutifs ont n restes différents dans la division par n. A fortiori, l'un d'entre eux est de reste nul, donc est divisible par n.

[chan79]

On ne peut pas faire une demo dans le meme type que celle de la 1 pour la question 2 ? Car je ne vois pas comment ecrire cette demonstration sans le "k!" car je ne l'ai pas appris...

supposons que les nombres soient
n(n-1)(n-2) ..(n-k+1)
on fait la division euclidienne de n par k
n=kp+q avec 0<=q<k
n-q=kp
ce n-q est l'un des facteurs du produit
comme n-q est divisible par k, le produit aussi

Edit: Pas vu la réponse de Nightmare

[algo1308]

K cas sont possibles :

n = lk et donc n(n+1)(n+2) est divisible par 3

n = lk+1 ; alors n+2 = lk+3 ... ? La ça ne marche plus donc je dois faire comment ?

[algo1308]

En essayant de faire la meme methode ça me donne cela. Ça ne marche pas...

[Nightmare]

On te parle de k entiers consécutifs cette fois, et non juste de 3!

[algo1308]

Mais en faisant la meme demonstration je fais comment alors ? Car comme on peut le voir si dessus, j'ai essayer mais ça ne marche que pour n et non n+1,n+2,... ?

[Nightmare]

Je ne comprends pas ce qui te bloque, c'est exactement la même chose :

Si n=mk+0 , c'est n qui est divisible par k
Si n=mk+1, c'est n+(k-1)
Si n=mk+2 c'est n+(k-2)
etc.
Si n=mk+(k-1) c'est n+1

[algo1308]

Ah d'accord j'ai compris merci :)
Mais comment je peut trouver les conditions pour le 3) ?

[Nightmare]

Saurais-tu me dire, pour k quelconque, quel est le reste dans la division par k de la somme de k entiers consécutifs?

[algo1308]

Le reste de : k/(1+2+3+...+k)

Ce sera 1/2 ? Car par exemple si k=3, 3/(1+2+3)=1/2
Mais qu'est ce que cela veut dire ?

[algo1308]

Ah non vous m'avez demandé l'inverse de cette division donc ce sera 2/1

[Nightmare]

Je pose ma question différemment.

Parmi k entiers consécutifs, nous avons vu qu'il y en avait un qui avait pour reste 0 dans la division par k, un autre qui a pour reste 1, un autre qui a pour reste 2 etc. et le dernier qui a pour reste k-1.

Quel est donc la somme des restes de ces nombres? A quelle condition sur cette somme de reste pourra-t-on dire que notre somme de nombres consécutifs est divisible par k?

[algo1308]

Par exemple la si k=3 la somme sera egale a 6 si k=5 la somme sera egale a 10. Je
La somme des reste de ces nombres est :
0+1+2+...+k-1
Pour que cette somme de nombre soie divisible par k il faut ke k soit superieur ou egale a 2.
mais alors comment rediger cela pour avoir une reponse correcte