Divisibilité et nombres premiers

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algo1308
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Divisibilité et nombres premiers

par algo1308 » 13 Oct 2012, 12:38

Bonjour, j'ai deux exercices que je n'arrive pas à résoudre, pourriez vous m'aider svp.

Exercice 1: Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Pn le plan d'équation z=n^4+4.

1) Déterminer l'ensemble des points de P1 dont les coordonnées (x;y;z) sont des entiers relatifs vérifiant z=xy.
Pour P1 on a z=5 donc les points sont (1;5;5) ou (5;1;5) ? Je n'ai jamais fais de plan d'équation donc je ne suis pas sur de ma réponse..

Pour la suite, on suppose n>=2.

2) Développer (n²-2n+2) (n²+2n+2)
Cette question, je l'ai réussi et je trouve n^4+4.

3) Démontrer que, quel que soit l'entier naturel n>=2, l'entier n^4+4 n'est pas premier.
On utilise la forme factorisée de la question 2 mais comment montrer que cette expression n'est pas un nombre premier ? Je ne vois vraiment pas comment faire..

4) En déduire que le nombre de point du plan Pn dont les coordonnées (x;y;z) sont des entiers relatifs vérifiant z=xy est au moins égal à 8.
Je ne voit pas comment résoudre cette question.

5) a) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629.
Cette question, je l'ai réussi.

b) Déterminer les points de P5 dont les coordonnées (x;y;z) sont des entiers relatifs vérifiant z=xy.
Pour P5 z=625+4=629
Donc les points sont (1;629;629) (629;1;629) et (17;37;629) et (37;17;629) ?

Exercice 4 : Démontrer que pour tout n entier naturel, n>2, le nombre n^2+2n-3 n'est pas premier.
En trouvant les racines, j'ai pu factorier cette expression en (n-1)(n+3).
Ensuite je fais : (n-1)*3+(n+3)*(-1) = 3n-3-n-3 = 2n. 2n n'est pas premier donc n^2+2n-3 n'est pas premier pour tout n>2. La justification est-elle bonne ?

Merci beaucoup de votre aide.



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chan79
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par chan79 » 13 Oct 2012, 12:41

algo1308 a écrit:Bonjour, j'ai deux exercices que je n'arrive pas à résoudre, pourriez vous m'aider svp.

Exercice 1: Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Pn le plan d'équation z=n^4+4.

1) Déterminer l'ensemble des points de P1 dont les coordonnées (x;y;z) sont des entiers relatifs vérifiant z=xy.
Pour P1 on a z=5 donc les points sont (1;5;5) ou (5;1;5) ? Je n'ai jamais fais de plan d'équation donc je ne suis pas sur de ma réponse..

.

salut
Juste mais incomplet, tu peux avoir des entiers négatifs
(-1,-5,5) convient

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 12:52

Ok donc par exemple pour le 1 les resultats sont (1;5;5) (5;1;5) (-1;-5;5) et (-5;-1;5) ?

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par chan79 » 13 Oct 2012, 13:07

algo1308 a écrit:Ok donc par exemple pour le 1 les resultats sont (1;5;5) (5;1;5) (-1;-5;5) et (-5;-1;5) ?

oui
pour la suite, si un nombre entier se met sous la forme a*b avec a et b entiers différents de 1 et -1, c'est qu'il n'est pas premier. Regarde la question précédente

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 13:11

Comment je peut prouver que ces deux facteurs sont différents de 1 et -1 ? Mais si par exemple ils sont égaux a 1 et 5 ou 1 et 3 ou 1 et 7, le produit sera un nombre premier...

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 13:33

Pour le 5) b) il manque (-629;-1;629) ; (-1;-629;629) ; (-17;-37;629) et (-37;-17;629) ?

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par chan79 » 13 Oct 2012, 14:13

algo1308 a écrit:Pour le 5) b) il manque (-629;-1;629) ; (-1;-629;629) ; (-17;-37;629) et (-37;-17;629) ?

si n²+2n+2 était égal à 1, on aurait n²+2n+1=0 soit (n+1)²=0 soit n=-1
or n >1 par hypothèse
vois les autres cas

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par chan79 » 13 Oct 2012, 14:26

chan79 a écrit:si n²+2n+2 était égal à 1, on aurait n²+2n+1=0 soit (n+1)²=0 soit n=-1
or n >1 par hypothèse
vois les autres cas

OK pour 5b

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 14:26

Je n'ai pas vraiment compris :/

Pour la question 3 j'ai : (n^2-2n+2)(n^2+2n+2) je dois montrer que c'est un nombre non premier pour tout n>=2. Comment montrer qu'un produit de facteurs ab n'est pas premier ? :/
Pour la question 5) b) les résultats sont-ils corrects ? Car je n'ai pas utilisé la question 5)a) j'ai fais comme la première question..

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par chan79 » 13 Oct 2012, 14:48

algo1308 a écrit:Je n'ai pas vraiment compris :/

Pour la question 3 j'ai : (n^2-2n+2)(n^2+2n+2) je dois montrer que c'est un nombre non premier pour tout n>=2. Comment montrer qu'un produit de facteurs ab n'est pas premier ? :/
Pour la question 5) b) les résultats sont-ils corrects ? Car je n'ai pas utilisé la question 5)a) j'ai fais comme la première question..

un nombre est premier si on ne peut pas le décomposer:
6 n'est pas premier car 6=2*3
17 est premier car on ne peut pas le décomposer sauf bien-sûr:
17=17*1
17=1*17
17=(-17)*(-1)
17=(-1)*(-17)
n;)+4=(n²+2n+2)(n²-2n+2)
on a bien un produit
il reste à vérifier qu'aucun des deux facteurs n'est égal à 1, ni à (-1)
le second, par exemple, ne peut pas être égal à 1; on aurait (n-1)²=0 donc n=1

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 15:02

On vérifie que n^2-2n+2 est ni égale a -1 ni egale a 1 :
Par l'absurde, on suppose que n^2+2n+2=1.
Alors n^2+2n+1=0
(n+1)^2=0
n=-1
Ce résultat est absurde donc n^2-2n+2 est différent de 0.

De la meme façon on suppose que n^2+2n+2=-1
Alors n^2+2n+3=0
Ici je ne sais pas comment montrer que c'est faut car on ne peut pas factorisee.

Apres je devrais faire pareil pour le deuxieme facteur mais c'est pareil, on ne peut pas le factoriser et montrer l'absurdité

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 15:03

Je me suis tromper pour la conclusion je dois dire ce resultat est absurde donc n^2+2n+2 est différent de 1

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 15:52

On vérifie que le premier facteur (n²+2n+2) est ni égal a (-1), ni égal a 1 :

- Par l'absurde, on suppose que n²+2n+2=1.
Alors n²+2n+1=0
(n+1)²=0
n=-1
D'après la supposition, ce résultat est absurde donc n²+2n+2 est différent de 1.

- De la même façon, on suppose que n²+2n+2=-1
Alors n²+2n+3=0
Ici, je n'arrive pas a factoriser l'expression comme ci-dessus et je n'arrive donc pas à montrer une absurdité..

On vérifie que le second facteur (n²-2n+2) est ni égal a (-1), ni égal a 1 :

- Par l'absurde, on suppose que n²-2n+2=1.
Alors (n-1)²=0
n=1 ... Le résultat n'est pas absurde je ne peut donc pas prouver que ce facteur est différent de 1 ??

- De la même façon, on suppose que n²-2n+2=-1
Alors n²-2n+3=0
Ici encore, je n'arrive pas a factoriser l'expression comme ci-dessus et je n'arrive donc pas à montrer une absurdité..

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par chan79 » 13 Oct 2012, 16:39

algo1308 a écrit:On vérifie que n^2-2n+2 est ni égale a -1 ni egale a 1 :
Par l'absurde, on suppose que n^2+2n+2=1.
Alors n^2+2n+1=0
(n+1)^2=0
n=-1
Ce résultat est absurde donc n^2-2n+2 est différent de 0.

De la meme façon on suppose que n^2+2n+2=-1
Alors n^2+2n+3=0
Ici je ne sais pas comment montrer que c'est faut car on ne peut pas factorisee.

Apres je devrais faire pareil pour le deuxieme facteur mais c'est pareil, on ne peut pas le factoriser et montrer l'absurdité

n²+2n+3 ne peut pas être nul car n est positif (somme de 3 positifs)
ou alors tu calcules

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 16:42

Delta vaut 8 donc il y'a aucune racine...

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 16:47

L'équation n'a donc pas de solution et n²+2n+2 est donc différente de 1.
Pareil pour n²-2n+2=-1 Delta vaut -8 il y'a donc pas de solution.

La seule façon d'avoir l'un des facteur égal à 1 c'est quand n =1.
Cependant dans l'énoncé il est dit que n est supérieur ou égal à 2. Donc aucun facteur est égal à 1 ou -1 quand n est supérieur ou égal à 2. Par conséquent n^4+4 n'est pas premier.

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par algo1308 » 13 Oct 2012, 17:14

Aurriez-vous une idée pour la question 4 svp car je ne vois pas comment faire..

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chan79
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par chan79 » 13 Oct 2012, 17:53

algo1308 a écrit:Delta vaut 8 donc il y'a aucune racine...

Delta=-8
dans tous les cas, il n' y a pas de solution entière supérieure ou égale à 2
n;)+4 est toujours premier

Pour la 4, même combat !
tu dois montrer qu'aucun des deux facteurs ne peut être égal à 1, ni à -1
ces deux facteurs sont bien n-1 et n+3
tu ne te sers pas de ce qui précède

algo1308
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par algo1308 » 13 Oct 2012, 18:05

Merci beaucoup. Je me disais bien que c'était la même façons. Mais je ne suis pas obligé de tester avec -1 car cela voudrais dire que les deux facteurs seraient négatifs. Or n²+2n+2 est strictement positif. Pareil pour n+3.

Le dernier problème que j'ai se pose à la question 4 du premier exercice : En déduire que le nombre de point du plan Pn dont les coordonnées (x;y;z) sont des entiers relatifs vérifiant z=xy est au moins égal à 8...

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par chan79 » 13 Oct 2012, 18:37

algo1308 a écrit:Merci beaucoup. Je me disais bien que c'était la même façons. Mais je ne suis pas obligé de tester avec -1 car cela voudrais dire que les deux facteurs seraient négatifs. Or n²+2n+2 est strictement positif. Pareil pour n+3.

Le dernier problème que j'ai se pose à la question 4 du premier exercice : En déduire que le nombre de point du plan Pn dont les coordonnées (x;y;z) sont des entiers relatifs vérifiant z=xy est au moins égal à 8...

si tu poses a=n²+2n+2 et b=n²-2n+2
tu as
(a,b,n;)+4)
(a,-b,n;)+4)
(-a,b,n;)+4)
(-a,-b,n;)+4)
(b,a,n;)+4)
(b,-a,n;)+4)
(-b,a,n;)+4)
(-b,-a,n;)+4)
Ca fait 8 car a et b ne peuvent pas être égaux (n serait nul)

 

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