Divisibilité de nombres premiers et récurrence

[algo1308]

J'ai un exercice de maths que je n'arrive pas à faire. Pourriez vous m'aider svp.
Pour tout entier naturel n, on pose : An=3^(2n+1)+2^(n+2).
Montrer, par récurrence que pour tout entier naturel n, An est divisible par 7.

J'ai fais l'initialisation pour prouver que la proposition est vraie au premier rang.

Cependant, pour montrer qu'elle est vraie au rang n+1 je n'y arrive pas.
Hypothèse de récurrence : 3^(2n+1)+2^(n+2)= 7k
But : 3^(2n+3)+2^(n+3)=7k'

3^(2n+3)+2^(n+3)
=3^(2n+1)*3²+2^(n+2)*2
=3^(2n+1)*9+2^(n+2)*2

Je n'arrive pas à trouver de facteur commun pour pouvoir isoler 3^(2n+1)+2^(n+2) et ainsi pouvoir la remplacer par 7k car si An est divisible par 7, An=7k. 9 et 2 n'ont pas de facteur commun..

[Nightmare]

Hello,

un indice : 9=7+2

:happy3:

[algo1308]

Ok alors,
3^(2n+1)*(7+2)+2^(n+2)*2

Je ne sais toujours pas comment factoriser cela..:/

[Nightmare]

Rappelle toi qu'on veut prouver que c'est divisible par 7. Le fait d'avoir fait apparaître 7 dans 9=7+2 n'est pas anodin. En plus, le 2 qui apparaît lui nous arrange bien.

[algo1308]

Oui mais on ne peut pas factoriser par (7+2) car de lautre coté on a que 2... Je ne vois vraiment pas comment faire.

[Nightmare]

Et si tu développais 3^(2n+1) avec 7+2 ?

[algo1308]

Ok donc,
3^(2n+1)*7+3^(2n+1)*2+2^(n+2)*2
= 3^(2n+1)*7+2(3^(2n+1)+2^(n+2))

Mais cela ne me donne pas quelque chose de la forme 3k' , comment dois-je faire ensuite pour obtenir quelque chose de cette forme ?

[Nightmare]

Pourquoi veux-tu quelque chose de la forme 3k'? On veut quelque chose de la forme 7k'!

[algo1308]

Desoler je me suis tromper donc je repose la meme question avc 7k

[algo1308]

Car meme avec 7k je ne sais pas comment faire

[Nightmare]

3^(2n+1)*7, c'est déjà de la forme 7*...

Qu'en est-il de +2(3^(2n+1)+2^(n+2))?

[algo1308]

On sait que An =3^(2n+1)+2^(n+2) et An=7k d'après l'hypothèse de récurrence.
Donc,
3^(2n+1)*7+2(3^(2n+1)+2^(n+2))
=7*3^(2n+1)+2*7k
=7*3^(2n+1)+14k
=7(3^(2n+1)+2k)
Mais dans alors k' serait égale à (3^(2n+1)+2k) et dans k' il y'aurait un k, c'est bisard..

[Nightmare]

Pourquoi serait-ce bizarre?

[nodjim]

Je devrais pas le dire mais l'expression se réduit à, modulo 7:
3*2-2*3

[algo1308]

Ah non je n'ai rien dit je viens de voir que dans l'un de mes exercices il y'avait un résultat de cette forme.

Merci beaucoup car sans vous je n'aurais pas pu trouver !!! Merciii :we:

[algo1308]

Je n'ai pas compris ce que cela signifie... ??

[algo1308]

Quelle expression se réduit ?

[nodjim]

Je peux donner l'explication, mais après tu vas dire: Ah mais oui c'est évident !

[algo1308]

Je veux bien chercher mais je ne vois vraiment pas comment je pourrais simplifier encore l'expression : 7(3^(2n+1)+2k) :/

[algo1308]

Car d'un coté il y'a un k qui n'est pas de l'autre..