Divisibilité et nombres premiers

[algo1308]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre un exercice. Pourriez vous m'aider svp.

1) Montrer que 15p-3q² est divisible par 3 pour tout p et q entiers relatifs.

2) Montrer que 3n+7 n'est jamais divisible par 3 quel que soit l'entier naturel n.

3) L'entier n²-n+3 est divisible par 3 pour tout entier naturel n ?

Je n'ai jamais fais ce genre d'exercice avec des entiers tels que p,q ou n...
Merci beaucoup.

[Anonyme]

@algo1308
Applique la règle :
si un nombre n divise un nombre a
et si ce même nombre n divise un nombre b

alors n divise a+b ou (a-b)

[algo1308]

Pour chaque réponse je dois utiliser cette formule ?

[Anonyme]

@algo1308

Chaque réponse nécessite d'écrire un raisonnement basé sur la notion de diviseurs d'un nombre et nombres premiers entre eux

Relis si besoin ton cours : chapitre arithmétique

Je te donne un exemple sur comment rédiger ou argumenter tes réponses :

Le nombre 3 ne divise par le nombre 7 car
( c'est à dire : le reste de la division euclidienne de 7 par 3 est 1 )

Ecris tes raisonnements pour chaque question , et "on" se fera un plaisir de les corriger avec toi

[algo1308]

Ok merci :)
Alors :
1) 3 divise 15p car 3 divise 15
3 divise 3q^2 car 3 divise 3
Donc 3 divise 15p-3q^2

2) 3 divise 3n car 3 divise 3
Seulement 3 ne divise pas 7
Donc 3 ne divise pas 3n+7

3) 3 ne divise pas n^2 ni n pour tout entier naturel n.
Donc 3 ne divise pas n^2-n+3

Est-ce correct ? La redaction est-elle correct ou il faut plus justifier ?

[algo1308]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre un exercice. Pourriez vous m'aider svp.

1) Montrer que 15p-3q² est divisible par 3 pour tout p et q entiers relatifs.

2) Montrer que 3n+7 n'est jamais divisible par 3 quel que soit l'entier naturel n.

3) L'entier n²-n+3 est divisible par 3 pour tout entier naturel n ?

Je n'ai jamais fais ce genre d'exercice avec des entiers tels que p,q ou n...
Merci beaucoup.

[annick]

Double post !!!

cf : http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=131774

[Anonyme]

@algo1308
Est ce que tu as réussi à répondre aux questions de cet exercice ?

[algo1308]

Je ne sais pas si c'est bon mais j'ai essayé.

J'ai mis que :
1) 15p-3q² = 3(5p-q²) donc 3 divise 15p-3q²

2) Par l'absurde on suppose que 3n+7 est divisible par 3.
Donc 3divise3n et 3divise7.
Or c'est absurde car 3 divise pas 7.
Donc 3n+7 n'est jamais divisible par 7.

3) Pour cette question j'ai pris un exemple car je n'arrivais pas à le démontrer..
Si n²-n+3 est divisible par 3 pour tout entier naturel n, alors si on prend nimporte quel entier naturel, ce sera vrai.
On prend n=2
On obtient 5. 5 n'est pas divisible par 3.
Donc ça nous montrer que n²-n+3 n'est pas divisible pour tout entier naturel n.

[nodjim]

Pour le 3) c'est OK un seul contre exemple à une proposition suffit à démontrer sa fausseté. Sinon, c'est toujours faux pour tout n de la forme 2+3k: 2,5,8,11,...

[Anonyme]

@algo1308

C'est bien

Quelques commentaires :

Pour 2) c'est mal rédigé mais c'est compréhensible

Pour 3) tu as correctement répondu et tu as fait une démonstration en donnant un contre-exemple

[algo1308]

Merci :)
Comment pourrais-je justifier pour le 2 alors ?

[Anonyme]

Comme tu l'as dit par une démonstration par l'absurde :

Supposons que 3 divise 3n+7

Comme 3 divise 3n

alors 3 divise (3n+7) - (3n)
c'est à dire : 3 divise 7
ce qui est absurde

Conclusion : 3 ne divise pas 3n+7

[algo1308]

D'accord merci beaucoup de votre aide !! :)