TS : DM de maths spé (divisibilité, nombres premiers...)

[Anonyme]

Bonjour,
J'aimerais qu'on m'explique comment faire pour répondre à ça :

On considère les 2 nombres complexes z tels que z = a + bi avec a et b entiers.
Parmi ceux-ci, quels sont ceux dont les inverses sont de la forme c + di avec c et d entiers ?

Merci d'avance.

[rene38]

"On considère les 2 nombres complexes z tels ..." Je n'en vois qu'un

Ton énoncé est incomplet.

[Anonyme]

Désolé j'ai rajouté un "2" en trop voila l'énoncé corrigé et bien complet :

On considère les nombres complexes z tels que z = a + bi avec a et b entiers.
Parmi ceux-ci, quels sont ceux dont les inverses sont de la forme c + di avec c et d entiers ?

[Anonyme]

s'il vous plait comment puis-je réussir cet exercice.
Si quelqu'un sait aidez moi svp

[Galt]

Yaka écrire (a+bi)(c+di)=1 ce qui donne ac-bd=1 et ad+bc=0. Le reste est aussi facile

[Chimerade]

Désolé j'ai rajouté un "2" en trop voila l'énoncé corrigé et bien complet :

On considère les nombres complexes z tels que z = a + bi avec a et b entiers.
Parmi ceux-ci, quels sont ceux dont les inverses sont de la forme c + di avec c et d entiers ?

Le produit des modules d'un complexe et de son inverse est égal à 1. Donc si l'un des nombres a pour représentant un point extérieur au cercle de centre O et de rayon 1, l'autre a nécessairement pour représentant un point intérieur. Or il n'existe qu'un seul point à coordonnées entières à l'intérieur de ce cercle et c'est le point O, qui représente 0 lequel n'est l'inverse d'aucun nombre.

Par conséquent, les seuls nombres qui ont des chances de répondre à la question ont des représentants situés sur le cercle en question. Comme il n'y a que quatre points sur le cercle qui respectent la condition (1,-1,i et -i) il suffit de les vérifier et il est facile de voir qu'effectivement leurs inverses ont la même propriété : 1 et -1 sont leurs propres inverses et i et -i sont inverses l'un de l'autre.