Divisibilité et nombres premiers
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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Mouraddddd
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par Mouraddddd » 22 Juil 2009, 12:59
Bonjour, je sollicite votre aide pour résoudre cet exercice :
1)calculer la somme suivante avec x appartenant à IR et p appartenant à IN.
1-x+x^2-x^3....+[(-1)^p](x^p)
2)Montrer que pour tout n appartenant à IN on a:
x^(2n+1) + 1 est divisible par x+1 .
3) En déduire que quelque soit p appartenant à IN, (2^2p)^k + 1 est divisible par 2^2p + 1 si k est impair .
4) Montrer que si 2^m + 1 est un nombre premier alors m est une puissance de 2 .
merci pour votre collaboration.
Voici ce que j'ai trouvé pour la 1ère question :
S = [1-(-1)^(p+2)x^(p+2)] / (1+x) en utilisant la suite géométrique de raison q = -x et de premier terme U1 =1 et le nombre de termes = p+1
autre méthode pour calculer S en factorisant et pour p=2k+1
S = (1-x)(1+x^2+x^4+...+x^2k)
(1+x^2+x^4+...+x^2k) est une suite géométrique de raison x² , de premier terme U1=1 , nombre de termes = k+1
S=[1-(x^2)^(k+2)] / (1+x)
ce qui est différent du premier cas de calcul de S .
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guigui51250
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par guigui51250 » 22 Juil 2009, 13:04
tu n'as encore rien fait? t'as pas d'idée pour la première question?
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theluckyluke
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par theluckyluke » 22 Juil 2009, 13:57
Bonjour,
Question 2.
Tu peux essayer de factoriser par
, tu vas déjà voir ce que ça donne.
Pour la question 1 :
Attention au nombre de termes et à ne pas mélanger les indices
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Mouraddddd
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par Mouraddddd » 22 Juil 2009, 16:31
BONJOUR ET BON APRES MIDI
en utilisant le binôme de newton on obtient:
(1+x)^n= Cn0 x^n + Cn1 x^(n-1) + Cn2 x^(n-2) +
+ Cnn-1 x^1 + Cnn x^0
(1+x)^n= x^n + Cn1 x^(n-1) + Cn2 x^(n-2) +
..+ Cnn-1 x^1 + 1
(1+x)^n= (x^n + 1 )+ Cn1 x^(n-1) + Cn2 x^(n-2) +
..+ Cnn-1 x^1
(x^n + 1 )= (1+x)^n - Cn1 x^(n-1) + Cn2 x^(n-2) +
..+ Cnn-1 x^1
(x^n + 1 )= (1+x)^n - Cn1 x^(n-1) + Cn2 x^(n-2) +
..+ Cnn-1 x^1
(1+x)^n étant divisible par 1+x,
reste à montrer que Cn1 x^(n-1) + Cn2 x^(n-2) +
.+ Cnn-1 x^1 lest aussi. Si vous pouvez maider à le faire. (veuillez m'excuser pour l'écriture des combinaisons)
MERCI
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oscar
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par oscar » 22 Juil 2009, 18:06
Bonjour
Pour le 4
On peut affirmer que tout nombre 1er est de la forme 4n+1 ou 4n-1
car il ne peut être de la forme 4n ou 4n +2 !...
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Mouraddddd
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par Mouraddddd » 22 Juil 2009, 18:57
bonsoir mr oscar,
est ce qu'on peut utiliser votre affirmation sans aucun justificatif mathématique , donc on peut écrire pour cet exercice que 2^m + 1 =4n+1 ou 4n-1 , 2^m + 1 étant un nombre premier .
1) 2^m + 1 =4n+1 donc 2^m = 4n
2) 2^m + 1 =4n - 1 donc 2^m = 4n -2
peut on conclure que m est une puissance de 2 ?
merci beaucoup
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Mouraddddd
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par Mouraddddd » 24 Juil 2009, 09:40
Bonjour,
réponse apparamment trouvée par raisonnement par récurrence sur m:
2^m + 1 premier alors m=2^p puissance de 2
1- initialisation:
2^m + 1= 3 donc m=1= 2^0
2^m + 1= 5 donc m=2= 2^1
2^m + 1= 17 donc m=4= 2^2
2 - 2^m + 1 premier alors m= 2^p puissance de 2 vraie pour m>=1
3 - 2^(m+1) + 1 premier
et 2^(m+1) + 1 = 2^(m+1) + 2-1 = 2*(2^m + 1) -1
2^m +1 étant par hypothèse premier donc m= 2^p
par suite 2^(m+1) + 1= 2*(2^(2^p)+1) -1
soit 2^(m+1) = 2*(2^(2^p)+1) -2 = 2* 2^(2^p)= 2^((2^p)+1) donc
m+1 = (2^p)+1 soit m= 2^p
proposition vraie pour m+1 don vraie quelque soit m>=1
SVP est-ce que cette solution est correcte
MERCI
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oscar
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par oscar » 24 Juil 2009, 10:30
BONJOUR
Cela me parait valable
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theluckyluke
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par theluckyluke » 24 Juil 2009, 10:50
Bonjour,
autre méthode pour montrer que :
Supposons que
ne soit pas une puissance de deux.
Alors
s'écrit :
avec
et
Donc
avec
divise
et différent de
car
et différent de 1.
Donc
.
Pour
, on a utilisé que :
.
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