Nombres complexes - structures algébriques - Algèbre linéair

[capitaine nuggets]

Ce que tu as fait pour la symétrie est bon aussi.

Pour la matrice de rotation sur R^2, il faut faire un dessin.
Tu prends la base orthonormale canonique.

e_1 est envoyé sur .
e_2 est envoyé sur .

Ca te donne la matrice de la rotation.

Sur IR², la base orthonormale canonique, c'est la base canonique ?
A savoir B=((1,0),(0,1))=(e_1,e_2) ?

Par contre, je ne te suis plus après.
Quand tu dis que e_1 et e_2 sont envoyés sur ...

[egan]

C'est effectivement la base canonique. C'est juste pour souligner le fait qu'il faut que la base soit orthnormale.

Si tu fais un dessin, tu vois bien sur quoi e_1 et e_2 sont envoyés.

Je sais pas ce que fait TEX mais pour e_2, il ne m'affiche pas du tout ce que j'ai tapé. Mais tu as la bonne version dans la citation de ton dernier post.

[capitaine nuggets]

Pourquoi la base doit-être orthonormale ?
Non, je ne vois pas ce que tu veux dire par "envoyés"

Pour la linéarité, la condition suivante suffit aussi:

Pour la linéarité, cette condition suffit ... en générale ? ou juste pour ce cas là ?
Et pourquoi suffit-elle ?

Je sais pas ce que fait TEX mais pour e_2, il ne m'affiche pas du tout ce que j'ai tapé. Mais tu as la bonne version dans la citation de ton dernier post.

C'est parce que directement après la première balise [TEX] tu as mis un - . Or il faut rajouter un espace entre la balise et le - pour corriger ce défaut.

[egan]

Merci pour le conseil sur TEX. ^^

En fait les deux conditions suivantes sont équivalents:




Truc est envoyé sur machin veut juste dire que l'image de truc par f est machin. ^^

Pour une rotation de R^2, sa matrice est sous la forme que je t'ai indiquée si la base considérée est orthonormale.
Je pense que tu dois pouvoir vérifier sur un dessin que si tu prends comme base (0;1) et (2;0), ça ne marche plus.

[capitaine nuggets]

Merci pour le conseil sur TEX. ^^

En fait les deux conditions suivantes sont équivalents:




Truc est envoyé sur machin veut juste dire que l'image de truc par f est machin. ^^

Pour une rotation de R^2, sa matrice est sous la forme que je t'ai indiquée si la base considérée est orthonormale.
Je pense que tu dois pouvoir vérifier sur un dessin que si tu prends comme base (0;1) et (2;0), ça ne marche plus.

Ah je crois avoir compris ce que tu me dit :
Si on prends un point de coordonnées alors par une rotation d'angle , l'image de ce point est .

Mais comment, à partir de ça, former la matrice d'uen rotation ?

Et pourquoi la base doit-elle être orthonormale ?

[capitaine nuggets]

Merci pour le conseil sur TEX. ^^

En fait les deux conditions suivantes sont équivalents:




Truc est envoyé sur machin veut juste dire que l'image de truc par f est machin. ^^

Pour une rotation de R^2, sa matrice est sous la forme que je t'ai indiquée si la base considérée est orthonormale.
Je pense que tu dois pouvoir vérifier sur un dessin que si tu prends comme base (0;1) et (2;0), ça ne marche plus.

--> Ah je crois avoir compris ce que tu me dit :
Si on prends un point de coordonnées alors par une rotation d'angle , l'image de ce point est .

Mais comment, à partir de ça, former la matrice d'uen rotation ?

--> Et pourquoi la base doit-elle être orthonormale ?

--> J'étais en train de me demander : quel est le noyau d'une projection p.

Plaçons-nous dans l'ev , avec deux sev de .
(Je ne sais pas si c'est redondant de dire " avec deux sev de ", si j'ai précisé avant que et que est un ev).

On considère la projection sur parallèlement à .
p est une application de vers qui, à tout se décomposant de manière unique par avec , associe .

Par définition, .
équivaut à donc et par conséquent, .

Es-tu d'accord avec mon raisonnement ?

--> J'ai essayé de faire la même chose avec la symétrie, je trouve , mais je ne suis pas à 100% sûr de mon résultat.

[capitaine nuggets]

J'étais en train de me demander : quel est le noyau d'une projection p.

Plaçons-nous dans l'ev , avec deux sev de .
(Je ne sais pas si c'est redondant de dire " avec deux sev de ", si j'ai précisé avant que et que est un ev).

On considère la projection sur parallèlement à .
p est une application de vers qui, à tout se décomposant de manière unique par avec , associe .

Par définition, .
équivaut à donc et par conséquent, .

Es-tu d'accord avec mon raisonnement ?

[egan]

Pour connaître la matrice dans (e_1;e_2) d'une rotation dans R^2 donc le plan, il faut connaître l'image de e_1 et e_2 par la rotation. On se fiche éperdument du point (cos theta ; sin theta).
N'oublie pas non plus que le coeff. 1.1 de la matrice est la composante sur e_1 de r(e_1), le coeff. 2.1 de la matrice est la composante sur e_2 de r(e_1), le coeff. 1.2 de la matrice est la composante sur e_1 de r(e_2), le coeff. 2.2 de la matrice est la composante sur e_2 de r(e_2).

Une rotation est une application linéaire orthogonale directe. La matrice d'une telle application est orthogonale si et seulement si la base considérée est orthogonale. C'est l'orthogonalité de la matrice qui te permet de montrer que la matrice de la rotation dans R^2 a cette forme.

Je suis d'accord avec toi pour le noyau d'une projection mais à ton avis 0 + G, c'est quoi ? D'ailleurs la notation ensembliste n'est pas 0 X G pour ce que tu proposes mais 0 + G.

Pour la symétrie, c'est bon, le noyau est réduit à 0.

[capitaine nuggets]

Je suis d'accord avec toi pour le noyau d'une projection mais à ton avis 0 + G, c'est quoi ? D'ailleurs la notation ensembliste n'est pas 0 X G pour ce que tu proposes mais 0 + G.

Pour la symétrie, c'est bon, le noyau est réduit à 0.

Mais oui ! suis-je bête.
J'ai confondu les notation et lorsque j'ai dit que se décomposait de manière unique sous la forme .
Du coup, .

[capitaine nuggets]

Je suis d'accord avec toi pour le noyau d'une projection mais à ton avis 0 + G, c'est quoi ? D'ailleurs la notation ensembliste n'est pas 0 X G pour ce que tu proposes mais 0 + G.

Pour la symétrie, c'est bon, le noyau est réduit à 0.

Mais oui ! suis-je bête.
J'ai confondu les notation et lorsque j'ai dit que se décomposait de manière unique sous la forme .
Du coup, .

Sinon, pour l'histoire de e1 et e2, je ne comprends toujours pas.
N'aurais-tu pas une autre approche ?

[capitaine nuggets]

Ah je crois avoir compris, c'est bon :++:

Pendant qu'on y est dans l'algèbre linéaire, si on a une application linéaire , comment montrer que est injective si et seulement si ?

(parce que j'étais en train de me dire, toute symétrie est injective)

[MacManus]

Ah je crois avoir compris, c'est bon :++:

Pendant qu'on y est dans l'algèbre linéaire, si on a une application linéaire , comment montrer que est injective si et seulement si ?

(parce que j'étais en train de me dire, toute symétrie est injective)

Salut,

On sait que f est linéaire, en particulier f(0)=0. Par injectivité de f, on en déduit que 0 (vecteur nul de F) admet au plus un antécédant : le vecteur nul de E. Donc Ker(f)==0.
En d'autres termes, pusique par définition Ker(f)={xE tq f(x)=0} et que f(0)=0, alors f(x)=f(0), et comme on suppose f injective, x=0. Donc on a bien Ker(f)=0.

Tu vois comment faire pour la réciproque ?

[capitaine nuggets]

Salut,

On sait que f est linéaire, en particulier f(0)=0. Par injectivité de f, on en déduit que 0 (vecteur nul de F) admet au plus un antécédant : le vecteur nul de E. Donc Ker(f)==0.
En d'autres termes, pusique par définition Ker(f)={xE tq f(x)=0} et que f(0)=0, alors f(x)=f(0), et comme on suppose f injective, x=0. Donc on a bien Ker(f)=0.

Tu vois comment faire pour la réciproque ?

Je dois bien avouer que je ne vois pas comment faire la réciproque :triste:

[MacManus]

Je dois bien avouer que je ne vois pas comment faire la réciproque :triste:

Hypothèses: Ker(f)=0 et f linéaire

Tu considères deux vecteurs x et y de E tels que f(x)=f(y). Donc f(x)-f(y)=0, cad ???

[capitaine nuggets]

Hypothèses: Ker(f)=0 et f linéaire

Tu considères deux vecteurs x et y de E tels que f(x)=f(y). Donc f(x)-f(y)=0, cad ???

Ah ben f(x-y)=0

[MacManus]

Ah ben f(x-y)=0

et oui, et donc, donc ???

que peux-tu dire de x-y ?

[capitaine nuggets]

et oui, et donc, donc ???

que peux-tu dire de x-y ?

Comme f est linéaire, x-y=0.

[MacManus]

Non, tu as déjà utilisé l'hypothèse "f linéaire" pour dire que f(x)-f(y) = f(x-y) = 0.
Ce qu'il faut voir ici, c'est que f(x-y)=0 signifie que x-yKer(f)

Conclusion ?

Comme f est linéaire, x-y=0.

PS: OUI, pardon je suis allé un peu vite, tu peux le voir ainsi, mais tu n'utilises pas l'hypothèse Ker(f)=0.

Finalement, on a montré que f(x)=f(y) => x=y , cad que f est injective.

[capitaine nuggets]

conclusion x-y=0 donc x=y ?

[MacManus]

conclusion x-y=0 donc x=y ?

Oui !

Finalement, on a montré que f(x)=f(y) => x=y , cad que f est injective.

C'est la conclusion !