Structures algébriques

[abicah]

Bonjour ,

Voici l 'exercice:

Soit A , un anneau booléen. On suppose que A est intègre. Démontrer que A est isomorphe à {0} ou à Z/2Z.


Quelqu'un peut me confirmer qu'un anneau intègre ne peut pas être isomorphe à {0} car il a au moins 2 éléments et donc que la question de cet exercice est un peu tordue ?

Merci

[Ben314]

Salut.
C'est uniquement un problème de définition (donc sans grand intérêt) : la tendance majoritaire à l'heure actuelle est plutôt de considérer que la terme "anneau" désigne un anneau unitaire (et d'utiliser le terme de "pseudo anneau" dans le cas non unitaire). Par contre, je ne suis pas certain que la majorité des auteurs considèrent que, dans un "anneau" (donc unitaire), on doive forcément avoir : dans la page de wiki dédiée ils citent l'anneau nul {0} comme exemple d'anneau (unitaire) mais par contre, la page dédiée aux anneaux intègres ce dernier est exclu d’emblée mais je ne sais pas du tout si c'est la définition la plus usuelle ou pas . . .

[abicah]

Salut.
C'est uniquement un problème de définition (donc sans grand intérêt) : la tendance majoritaire à l'heure actuelle est plutôt de considérer que la terme "anneau" désigne un anneau unitaire (et d'utiliser le terme de "pseudo anneau" dans le cas non unitaire). Par contre, je ne suis pas certain que la majorité des auteurs considèrent que, dans un "anneau" (donc unitaire), on doive forcément avoir : dans la page de wiki dédiée ils citent l'anneau nul {0} comme exemple d'anneau (unitaire) mais par contre, la page dédiée aux anneaux intègres ce dernier est exclu d’emblée mais je ne sais pas du tout si c'est la définition la plus usuelle ou pas . . .

Pourtant cet exercice est issu d'un livre, où un anneau intègre est défini comme un anneau unitaire différent de {0}.
Quoi qu'il en soit , merci pour ta réponse.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
L'anneau nul est bien un anneau unitaire, mais il n'est pas intègre. Dans les axiomes d'anneau intègre, on a . C'est comme pour les idéaux premiers : l'anneau tout entier n'est pas un idéal premier. Le quotient d'un anneau (commutatif) est intègre si et seulement si cet idéal est premier.
Pour l'exercice : la conclusion n'est pas logiquement fausse : un anneau booléen intègre est isomorphe au corps , donc il est bien isomorphe à ou à l'anneau nul.