Exercice sur les nombres premiers

[AlexisD]

Bonjour à tous,
Je suis en train de résoudre un petit exercice bien sympathique:

Montrer que si p est un nombre premier alors n'est pas rationnel.

J'ai procédé par contraposée en supposant que avec l'hypothèse que a et b sont premiers entre eux.
De là, j'utilise l'identité de Bézout que assure l'existence de u et v tels que: au+bv=1.

Comme par ailleurs on a a²=p.b², alors de l'égalité:
a²u+abv=a,
j'en tire:
pb²u+abv=a i.e b(pbu+av)=a
ou encore a est un multiple de b.
Nécessairement ça coince puisque a et b sont premiers entre eux, mais alors que faut-il en déduire ?
Mon objectif était d'établir que p est composé mais je ne vois pas comment terminer cette preuve.
Pouvez-vous éclairer mon raisonnement ?
Merci

PS: Je connais déjà une autre manière de le prouver, en disant directement que a²|p donc a|p puis de conclure...

[Nightmare]

Salut,

c'est une preuve par l'absurde non? Que fait-on généralement dans ce type de preuve?

[nodjim]

C'est tout de même un drôle de problème car la résolution élargit considérablement l'ensemble des nb irrationnels par rapport à l'ensemble des nombres premiers.

[SaintAmand]

Montrer que si p est un nombre premier alors n'est pas rationnel.

Il n'est pas plus difficile de montrer que:

Si n'est pas un carré parfait, alors est irrationnel.

Il suffit de considérer l'ensemble . S'il n'est pas vide, alors il possède un plus petit élément . Or et .

[AlexisD]

J'ai trouvé. En fait j'étais très près de la solution.
Dire que b(pbu+av)=a n'est pas une contradiction si b=1. Dans ce cas, c'est simple car alors p=a² qui est composé.