par Ben314 » 27 Nov 2016, 16:02
Si tu élimine l'entier 1 (et zéro), alors le fait que m ne soit pas dans E implique (par définition de E) qu'il n'est pas premier et donc qu'il s'écrit m=ab avec a et b différents de 1.
Ensuite, je pense que tu l'a déjà vu, mais partant du fait (axiome) que toute partie non vide de N admet un plus petit élément, pour montrer que le principe de récurrence est valable, on procède de la façon suivante :
Soit P(n) une proposition telle que P(0) soit vraie et que, pour tout n (P(n) => P(n+1)).
Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe un n tel que P(n) soit faux.
L'ensemble des n tels que P(n) soit faux est donc non vide (et contenu dans N) donc admet un plus petit élément m.
Vu que, par hypothèse P(0) est vrai, c'est que m est non nul donc m-1 est lui aussi un entier naturel.
Et comme m-1<m et que m est le plus petit entier tel que P(n) soit faux, c'est que P(m-1) est vrai.
On a donc P(m-1) vrai et P(m) faux ce qui contredit l"hypothèse "pour tout n (P(n) => P(n+1))".
Si tu prend la preuve que tu vient de rédiger et que tu la passe à la "moulinette" çi dessus pour que la démonstration utilise le fait que "toute partie non vide de N admet un plus petit élément" à la place du principe de récurrence, ben tu tombe très exactement sur la preuve proposée par jankyjack.
En ce qui concerne "ce qui est plus naturel", je sais pas trop : en France, on enseigne assez tôt le principe de récurrence (à mon avis sans preuve autre qu'intuitive) alors qu'on voit assez tard qu'il est équivalent au fait que "toute partie non vide de N admet un plus petit élément". Donc effectivement, en France, d'utiliser la récurrence parait "bien plus naturel". Mais je sais pas s'il en est de même dans tout les autres pays.
C'est a mon avis comme le "Delta=b²-4ac" qui est enseigné assez tôt en France alors que je pense que c'est pas le cas partout : si tu as bien compris la "forme canonique" du trinôme, tu peut parfaitement résoudre tout les exos sur les équation du second degré (la rédaction est juste un peu plus longue) et la notion de "forme canonique" peut servir dans d'autre contexte (par exemple la réduction de Gauss des formes quadratiques) donc s'il ne devait rester dans la tête des élèves qu'un seul des deux trucs "Delta=b²-4ac" <-> "forme canonique", il vaudrait mieux que ce soit le deuxième or en France force est de constater qu'il ne reste très souvent que le premier.
Donc ça m'étonnerais pas qu'ailleurs qu'en France, on insiste plus sur la forme canonique et moins sur le Delta=b²-4ac.
Pour "récurrence usuelle" <-> "toute partie non vide de N admet un plus petit élément", ça me semble plus discutable de privilégier le deuxième, mais pourquoi pas...
EDIT : En regardant le post de jankyjack çi dessous, ça donne effectivement l'impression qu'il est plus "à l'aise" avec son "truc de Mademoiselle Emmy Noether" qu'avec le principe de récurrence.
Et ce "truc de Mademoiselle Emmy Noether" dont j'ai jamais entendu parler, je suis de plus en plus convaincu que, dans la cas de N, c'est le fait que "toute partie non vide de N admet un plus petit élément" (ou un truc complètement équivalent à ça)
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Ben314 le 27 Nov 2016, 16:23, modifié 10 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius