Les entiers naturels et les nombres premiers

[Ben314]

@zygo : La preuve de jankyjack en fait, c'est très très exactement une récurrence, modulo de se rappeler comment on prouve que le principe de récurrence est correct en partant de l'axiome disant que toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
Bon, après, c'est vrai que c'est pas super archi. bien rédigé, en particulier du fait que si on se met à distinguer les entier "qui s'écrivent comme produit de nombre premier" des entiers "qui sont eux même premier", ça signifie que le terme "produit" est considéré comme signifiant "au moins deux termes dans le produit" et que dans ce cas, il faut bien évidement traiter à part le cas de l'entier 1 qui, en fait, s'écrit comme "produit de zéro nombres premiers".

[zygomatique]

ok merci ...

oui il me semble qu'il faut exclure 1 (et évidemment 0)

mais tout de même il y a quelque chose que je ne comprends pas : si m est le minimum des nombres qui ne sont ni premiers ni produit de nombres premiers pourquoi peut-on ensuite l'écrire comme le produit ab de deux entiers ? (en fait c'est la rédaction qui me gène car me semble imprécise)

mais je comprends ce que tu veux dire avec la récurrence : F => F est vrai et héréditaire


il me semble qu'une récurrence dans le bon sens est plus naturel en considérant la propriété

P(n) : tout entier k inférieur à n est premier ou produit de nombres premiers (ou 1)

alors pour n + 1 il y a deux éventualités :

n + 1 est premier et c'est fini

n + 1 n'est pas premier et il possède un diviseur p différent de 1 et n + 1 et n + 1 = pq

et la récurrence appliquée à p et q permet de conclure

ou encore :

(donc n + 1 est premier)

ou

+ récurrence

....

[Ben314]

Si tu élimine l'entier 1 (et zéro), alors le fait que m ne soit pas dans E implique (par définition de E) qu'il n'est pas premier et donc qu'il s'écrit m=ab avec a et b différents de 1.

Ensuite, je pense que tu l'a déjà vu, mais partant du fait (axiome) que toute partie non vide de N admet un plus petit élément, pour montrer que le principe de récurrence est valable, on procède de la façon suivante :
Soit P(n) une proposition telle que P(0) soit vraie et que, pour tout n (P(n) => P(n+1)).
Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe un n tel que P(n) soit faux.
L'ensemble des n tels que P(n) soit faux est donc non vide (et contenu dans N) donc admet un plus petit élément m.
Vu que, par hypothèse P(0) est vrai, c'est que m est non nul donc m-1 est lui aussi un entier naturel.
Et comme m-1<m et que m est le plus petit entier tel que P(n) soit faux, c'est que P(m-1) est vrai.
On a donc P(m-1) vrai et P(m) faux ce qui contredit l"hypothèse "pour tout n (P(n) => P(n+1))".

Si tu prend la preuve que tu vient de rédiger et que tu la passe à la "moulinette" çi dessus pour que la démonstration utilise le fait que "toute partie non vide de N admet un plus petit élément" à la place du principe de récurrence, ben tu tombe très exactement sur la preuve proposée par jankyjack.

En ce qui concerne "ce qui est plus naturel", je sais pas trop : en France, on enseigne assez tôt le principe de récurrence (à mon avis sans preuve autre qu'intuitive) alors qu'on voit assez tard qu'il est équivalent au fait que "toute partie non vide de N admet un plus petit élément". Donc effectivement, en France, d'utiliser la récurrence parait "bien plus naturel". Mais je sais pas s'il en est de même dans tout les autres pays.

C'est a mon avis comme le "Delta=b²-4ac" qui est enseigné assez tôt en France alors que je pense que c'est pas le cas partout : si tu as bien compris la "forme canonique" du trinôme, tu peut parfaitement résoudre tout les exos sur les équation du second degré (la rédaction est juste un peu plus longue) et la notion de "forme canonique" peut servir dans d'autre contexte (par exemple la réduction de Gauss des formes quadratiques) donc s'il ne devait rester dans la tête des élèves qu'un seul des deux trucs "Delta=b²-4ac" <-> "forme canonique", il vaudrait mieux que ce soit le deuxième or en France force est de constater qu'il ne reste très souvent que le premier.
Donc ça m'étonnerais pas qu'ailleurs qu'en France, on insiste plus sur la forme canonique et moins sur le Delta=b²-4ac.
Pour "récurrence usuelle" <-> "toute partie non vide de N admet un plus petit élément", ça me semble plus discutable de privilégier le deuxième, mais pourquoi pas...

EDIT : En regardant le post de jankyjack çi dessous, ça donne effectivement l'impression qu'il est plus "à l'aise" avec son "truc de Mademoiselle Emmy Noether" qu'avec le principe de récurrence.
Et ce "truc de Mademoiselle Emmy Noether" dont j'ai jamais entendu parler, je suis de plus en plus convaincu que, dans la cas de N, c'est le fait que "toute partie non vide de N admet un plus petit élément" (ou un truc complètement équivalent à ça)

[jankyjack]

cette demonstration vaut pour tout m >= 2.

et le si E existe j'aurai pu carrément l'omettre c'etait juste pour signifier exactement le debut de la demonstration par l'absurde.

pour l'element minimal c'est là où intervient Mademoiselle Emmy Noether. qui de par son theoreme prouve que l'élement minimal existe en considerant que le groupe Noetherien que l'on a ici est E (non vide) sous ensemble de N muni de la loi Divisé. je pourrais ecrire la demonstration que ce groupe est effectivement Noetherien si necessaire. mais je ne crois pas que ce soit le but ici. donc l'element minimal existe bien sur quand E non vide

et je l'ai bien précisé en haut en écrivant " si E existe alors..." c'etait pour dire effectivement que si E non vide

[zygomatique]

oui effectivement merci pour ces éclaircissements : oui en fait on ne va pas voir après mais avant pour aboutir à une absurdité sur la véracité de P(n) => P(n + 1) en utilisant l'axiome de l'élément minimal dans N ...

mais c'est effectivement moins naturel comme "récurrence" ...

déjà qu'ils ont du mal à comprendre le raisonnement par récurrence car on ne fait pas (ou si peu) de logique
(comprendre que 2 > 3 => 3 > 4 (tout comme 2 > 3 => 3 < 4 d'ailleurs) est vrai leur est très difficile)


quant au pb du discriminant c'est exactement cela et je suis de ton avis ...
mais les difficultés de calcul algébrique, la méconnaissance des identités remarquables ne leur permet pas/plus de comprendre que c'est quasiment aussi efficace que la recette calcul de delta + racines éventuelles et tellement plus riche (ça c'est normal qu'ils ne le comprennent pas : on s'en rend compte ensuite comme l'exemple classique de réduction que tu cites)

mais évidemment leur incapacité à faire le moindre calcul mental ne les aide pas non plus ... j'ai surpris l'autre jour un de mes élèves de spe math(Tle S) calculer 16/2 avec la calculatrice ....

demande à un lycéen la table de 6 à 9 genre 7 * 8, 7 * 9, 6 * 9 ou autre .... que de mal ils ont à donner un résultat exact ...