Les entiers naturels et les nombres premiers

[jankyjack]

Bonjour,

s'il vous plait quelqu'un pourrait m'aider à démontrer que tout entier naturel peut s'écrire comme produit de nombres premiers. l'indice que l'on m'a donné pour demontrer ça c'est que je peux utiliser le fait que la relation de divisibilité de deux entiers naturels est une induction de Emily Noerther.

Toute autre approche est aussi la bienvenue. le but est d'arriver à la solution et non pas le moyen

merci de vos reponses

[anthony_unac]

Bonjour,
Vous pouvez démontrer cette proposition (attention valable pour tout n>1) par récurrence :
Initialisation : 2 s'écrit comme un produit de nombre premier : 2=2 (et par convention, un nombre seul est considéré comme un produit d'un facteur)
Hérédité : On considère maintenant un entier >2 et on suppose que tous les entiers entre 2 et (n-1) s'écrivent comme un produit de nombres premiers (hypothèse de récurrence).
Que dire à présent de la décomposition des entiers entre 2 et n ....

NB: Le plus compliqué c'est de démontrer que cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près)

[zygomatique]

salut

je ne comprends pas trop l'indication ...

mais on peut raisonner de plusieurs façons :

une preuve constructiviste (et informatique) :

Code: Tout sélectionner

soit n un entier
p = 2
tant que p < n
    si n/p est entier alors n = n/p
    p = le nombre premier suivant

bien entendu à développer pour écrire que où p_i décrit l'ensemble des nombres premiers <n


une preuve par récurrence :

soit P(n) la propriété : pour tout k =< n k est le produit de nombres premiers

alors :

soit n + 1 est premier et on a fini
soit n + 1 n'est pas premier ... donc ... ?

[jankyjack]

Anthony la decomposition n'est pas unique donc Vous ne pouvez pas demontrer ça. puisque le but d el'exercice n'est pas demontrer que cette decomposition est unique mais plutôt que la possibilité d'exprimer un entier naturel de cette façon existe et non pas que c'est la seule façon.

je vois déjà un peu bien votre approche mais ce serait bien si vous pouviez aussi definir un p(n) selon votre approche à demontrer parce que je pense que si je reussi à exprimer ce p(n) alors je peux demontrer

[jankyjack]

Zygomatique je ne comprends pas bien ce que l'algo que vous avez ecrit est censé faire.

pouvez vous etre un peu plus explicite dans la definition de p(n) et eclairer un peu plus parce que je ne comprends pas bien

[zygomatique]

l'algorithme très incomplet (mais qui contient l'essentiel) construit la décomposition en produit de nombres premiers de tout entier n

pour P(n) sais-tu ce qu'est une démonstration par récurrence ?
P(n) est très claire ...

[Ben314]

Salut,

je ne comprends pas trop l'indication ...

L'indication avec son "Emilie Noether", je pense que ça fait référence à la notion d'anneau noethérien qui sont, grosso modo et de façon très imagées, ceux dans lesquels on peut faire une espèce de raisonnement par récurrence pour montrer l'existence de la décomposition en nombre premier.
Normalement, la preuve repose sur le fait que, partant de N, soit il est premier et c'est fini, soit il ne l'est pas, et il est divisible par un premier p et on recommence le processus avec N/p (c'est très exactement l'algo. que tu donne)
Et si on raisonne sur un anneau A quelconque (et pas sur Z), le fait que A soit Noethérien permet de garantir que le processus itératif (de division par des premiers) est forcé de s'arrêter un jour ou l'autre.

Sinon, concernant le cas particulier de l'anneau Z, je suis pas sûr que ce soit bien malin de faire intervenir une telle notion compliqué : d'utiliser par exemple le fait que Z est euclidien (voire, même uniquement le principe de récurrence) semble bien plus élémentaire (sachant que de toute façon, on a Euclidien => Principal => Factoriel =>Noethérien)

[beagle]

Bon j'arrive après Ben314, et cela ressemble à Zygomatique,
mais je le mets quand même: j'ai cherché l'induction de la mathématicienne,
et cela serait un peu comme la descente infinie:
"However, infinite descent in algebra goes back to Euclid: Book 7, Proposition 31 proves that any composite number is measured by some prime number, saying in the proof that "if the prime number is not found, an infinite series of numbers will measure the number A, each of which is less than the other: which is impossible in numbers"."

[zygomatique]

c'est un peu ce que je pensais (en terme moins "professionnel") ... c'est pourquoi j'ai donné l'algorithme

j'attendais que le posteur précise ce qu'il savait ...

[Ben314]

@Beagle : si ça peut te rassurer, le terme "induction de Emily Noerther", c'est la première fois que je le lit quelque part :
- "Induction", selon moi, ça fait référence au principe de récurrence.
- "Emily Noether" (avec un seul r) dans le contexte (de l'anneau Z), ça me fait penser aux anneaux Noethériens.

[anthony_unac]

Anthony la decomposition n'est pas unique donc Vous ne pouvez pas demontrer ça. puisque le but d el'exercice n'est pas demontrer que cette decomposition est unique mais plutôt que la possibilité d'exprimer un entier naturel de cette façon existe et non pas que c'est la seule façon.

Et pourtant si ! C'est même le nom d'un (pardon DU) théorème de base en arithmétique :
le théorème fondamentale de l'arithmétique.

[anthony_unac]

... En notant n=p.q ou p premier et q entier avec 1<p<=n
Si p=n (cas ou q=1), alors c'est réglé car n est un nombre premier et donc il s'écrit sous la forme d'un produit de facteurs premiers.
Si p<n alors 2<q<n-1 et d'après l'hypothèse de récurrence ...

[jankyjack]

Ben314 bien expliqué et je comprends bien quand c'est expliqué comme ça en français mais en mathematique c'est un difficile à ecrire

Zygomatique ce que je sais c'est qu' Emily a dit qu' un ordre correspond à une induction de Noether signifie qu'il n'existe aucune chaine infini decroisssante sur cette ordre et en plus cet ordre possede un element minimal. c'est exactement pour ça Z n'est pas un groupe Noetherien mais N l'est puisqu'il a l'element minimal 0

[jankyjack]

Anthony on s'est surement mal compris. ou bien je vous ai mal compris. je pensais que vous vouliez exprimer le fait si n un nombre naturel et p et q des nombres premiers et si n=pq alors il n'est plus possible de trouver deux autres nombres x, y tel que n=xy. mais maintenant je vois que c'est pas ce que vous aviez en tete.

[jankyjack]

Ben314 veuillez m'excuser pour l'utilisation des termes qui ne sont pas effectivement correct. ce qui se passe c'est que je ne fais pas les mathématiques en français et comme y'a pas beaucoup de forum où je peux poser mes questions dans ma langue alors je viens ici. et la traduction n'est pas toujours correcte. je pense effectivement que l'induction et la reccurence c'est la meme chose

[anthony_unac]

On est d'accord "il n'est pas possible de trouver deux autres ..." donc la décomposition de n en facteur premier est unique (à l'ordre près)

[jankyjack]

merci pour les reponses. j'ai pu achever la demonstration par une methode par l'absurde tout en utilisant l'induction du génie Noether.

[zygomatique]

je ne vois pas quel raisonnement par l'absurde il y a ...

[jankyjack]

c'est simple on suppose un ensemble E qui ne contient ni les nombres premiers ni le produit de nombres premier . si E existe , soit m l'element minimal de cet ensemble et on pose m=ab. a et b n'appartienent pas à E parce que a , b<m et m est minimal de E. ce qui siginifie que a et b appartienent au complementaire de E c'est à dire a et b sont soit premiers soit produit de nombre premier ce qui veut dire qu'on a eu contradiction puisque a et b ne doivent pas appartenir à E.

et puis c'est tout.

[zygomatique]

ça me semble bien imprécis car m = 1 et m = 1 = ab avec a = b = 1

1 n'est pas premier ni produit de nombres premiers

ensuite tu dis si E existe ? donc la question est existe-t-il ?

ensuite peut-il posséder un élément minimal ? et pour cela faudrait déjà montrer qu'il n'est pas vide ....