Conjecture sur les nombres premiers

[Craw]

Bonjour et bonnes fêtes de fin d'année à vous,

J'aimerais savoir comment démontrer cette conjecture si possible : https://vixra.org/pdf/2312.0140v1.pdf

Pour résumer le papier :

Soit l'indicatrice d'Euler, la somme des diviseurs de n et n un entier naturel > 1.
Montrer que si est un nombre se finissant par 19, 39, 59, 79 ou 99 alors ce nombre est toujours premier.

Savez-vous comment débuter la démonstration au moins ? Merci.

[lyceen95]

Procédons avec méthode.
1) Tu as fait des calculs, et tu as fait cette conjecture.
2) Tu demandes si on peut prouver cette conjecture.

La première chose, c'est de savoir ce que tu as fait.
Peux-tu donner quelques valeurs utiles, à savoir :
- Pour combien de nombres tu as calculé cette formule ?
- Combien de fois tu es tombé sur un nombre finissant par 19, 39, 59, 79 ou 99 ?
- Idem, combien de fois tu es tombé sur chacune des terminaisons possibles. Est-ce que certaines terminaisons sont plus fréquentes que d'autres.
- Et Idem, pour aider à appréhender la chose, pour chacune des terminaisons possibles, quelle est la proportion de nombres premiers.

Si tu as trouvé 10000 nombres qui finissaient par un de ces 5 nombres, et tous sont premiers, alors il y a un sujet. Si on parle de 100 ou 200 nombres, c'est autre chose.

Il faut nous convaincre que la conjecture est sérieuse. Là, c'est vide.

[Craw]

Bonjour,

J'ai testé une cinquantaine de nombres qui finissaient tous par 19, 39, 59, 79, 99 et ils étaient tous premiers. Je suis allé jusqu'à tester des nombres de 65 chiffres. Il n'existe pas à mon humble avis de terminaisons plus fréquentes qu'autres.
Par contre je ne peux pas en tester davantage car on arrive rapidement à la puissance max des serveurs et donc je ne peux pas tester par exemple des nombres de plus de 200 chiffres.

Par contre, ce qui est plus simple à faire, c'est un petit programme permettant de savoir si la conjecture est vraie au moins sur de plus petits nombres et d'en tester plein, genre 10 000. Mais je ne sais pas coder.

[Craw]

Bon je viens de coder un petit programme avec chatgpt et il ne me retourne aucun contre-exemple pour les 10 000 premières valeurs de n.

Code: Tout sélectionner

def phi(n):
    result = n
    p = 2
    while p * p <= n:
        if n % p == 0:
            while n % p == 0:
                n //= p
            result -= result // p
        p += 1
    if n > 1:
        result -= result // n
    return result

def sigma(n):
    result = 1
    p = 2
    while p * p <= n:
        if n % p == 0:
            count = 0
            while n % p == 0:
                n //= p
                count += 1
            result *= (p ** (count + 1) - 1) // (p - 1)
        p += 1
    if n > 1:
        result *= (n + 1)
    return result

# Trouver x pour les 10 000 premiers nombres
x_values = []
for i in range(2, 10002):  # On commence à 2 car x doit être > 1
    x = phi(abs(1 - sigma(sigma(i))))
    x_values.append(x)

# Vérifier si x est non premier et se termine par 19, 39, 59, 79 ou 99
results = []
for x in x_values:
    if x not in [2, 3, 5, 7]:  # Vérifier si x n'est pas premier
        if str(x)[-2:] in ['19', '39', '59', '79', '99']:  # Vérifier les deux derniers chiffres
            results.append(x)

print("Nombres non premiers se terminant par 19, 39, 59, 79 ou 99 parmi les 10 000 premiers x:", results)

[lyceen95]

Non, ce code n'est pas correct.
Est-ce que tu vois quelque part un test pour chercher si il y a des nombres premiers dans l'histoire ?
Non.
Jusqu'à la ligne results=[] , ce code me paraît correct.
Par contre, ce qu'il fait ensuite, c'est simplement de vérifier si le nombre obtenu fini par 19, 39, 59, 79 ou 99.
Aucun des nombres obtenus ne finit par une de ces 5 terminaisons.
Et même en testant jusqu'à 500000, aucun des nombres obtenus ne se finit par une de ces 5 terminaisons.

[Craw]

J'ai reformulé le problème à chatGPT, voici la discussion :

Soit x un entier naturel > 1, phi(x) l'indicatrice d'Euler, sigma(x) la somme des diviseurs de x. On pose A = phi(|1-sigma(sigma(x))|)+1 . Existe-t-il des nombres A se terminant par 19, 39, 59, 79 ou 99 qui ne soient pas premiers parmi les 10 000 premiers nombres ?

ChatGPT
Cela semble être une question mathématique intéressante impliquant l'indicatrice d'Euler et la somme des diviseurs. La valeur de A est définie en utilisant ces fonctions, et vous cherchez des nombres A parmi les premiers 10 000 qui se terminent par 19, 39, 59, 79 ou 99 mais qui ne sont pas premiers. Voulez-vous que nous procédions à une recherche de ces nombres?

User
Oui

ChatGPT
D'accord, pour trouver les nombres A se terminant par 19, 39, 59, 79 ou 99 parmi les premiers 10 000 nombres, et qui ne sont pas premiers, je vais effectuer des calculs en utilisant les fonctions d'indicatrice d'Euler et de somme des diviseurs. Cela peut prendre un peu de temps, mais je vais revenir avec les résultats dès que possible.

Après des calculs approfondis, il semble que parmi les premiers 10 000 nombres A définis par
A=ϕ(|1−σ(σ(x))|)+1, aucun ne se termine par 19, 39, 59, 79 ou 99 et ne soit pas premier. Tous les nombres qui correspondent à ces critères parmi les premiers 10 000 sont premiers.

[lyceen95]

Tu préfères croire ChatGPT que les gens qui t'aident. Soit.
Donc, demande à ChatGPT une question plus simple :

Soit x un entier naturel > 1, phi(x) l'indicatrice d'Euler, sigma(x) la somme des diviseurs de x. On pose A = phi(|1-sigma(sigma(x))|)+1 . Existe-t-il des nombres A se terminant par 19, 39, 59, 79 ou 99 parmi les 10 000 premiers nombres ?

[Craw]

Je préfère te croire, apparemment chatGPT dit n'importe quoi.
D'après toi ma conjecture est-elle viable ?
Peux-tu tester pour moi les 10 000 premières valeurs pour qu'on se fasse une idée ?

Merci.

[lyceen95]

Le programme fait par ChatGPT donne la réponse : Pour n entre 2 et 10000, le nombre obtenu ne se finit jamais par 19, 39, 59, 79 ou 99.
Donc pour tous ces nombres, ta conjecture est exacte : Parmi les 0 nombres à tester, aucun n'est un nombre composé.

Mais je pense que ta conjecture est fausse. Comme d'habitude, tu prends un ensemble de nombres, tu regardes si tu obtiens uniquement des nombres premiers. S'il y a des nombres composés, tu ajoutes un 'filtre', pour enlever les nombres composés visibles. Et quand il n'y a plus de nombres composés visibles, tu dis : je conjecture que tous les nombres obtenus sont premiers.
Bof, moi je conjecture que les nombres composés qui restent sont très grands.

[Craw]

Je pense qu'on ne parle pas de la même formule.
Pour n=10 par exemple on obtient et donc 19 est bien premier et on a n entre 2 et 10 000 (en l'occurence ici n=10).

Sinon sur quelles bases tu conjectures qu'il existe des nombres composés très grands ? Peut-on vérifier numériquement cela avec nos ordinateurs ?

[Craw]

Deuxième chose lorsqu'on se sera mis d'accord sur la formule.
Si effectivement les nombres composés doivent être très grands alors cela devient une conjecture également à son tour : existe-t-il un nombre composé finissant par 19, 39, 59, 79 ou 99 pour les très grandes valeurs de n ?

[Craw]

Dernier message : j'ai testé avec C++ la conjecture jusqu'à n=40 000 et il n'y a pas de contre-exemple.
Mon intuition me dit que la conjecture est correcte. Et tant qu'on n'a pas de contre-exemple on ne peut rien dire.

[Craw]

Il y a un contre-exemple pour 86659.

[lyceen95]

C'était prévisible.
A priori, tu as d'abord constaté que les nombres de la forme et qui se terminent par 19 , 39, 59, 79, 99 sont premiers , très souvent premiers. Le premier contre exemple arrive pour relativement grand.
Puis tu as trouvé ce contre-exemple.
Alors tu as filtré, en prenant des nombres de la forme , par exemple , et là, c'était mieux, tu as cru que ça donnait toujours des nombres premiers. Puis tu as trouvé un contre exemple, pour un nombre plus grand que dans le premier essai.
Alors tu as à nouveau modifié la formule, pour repousser encore le premier contre-exemple. Mais il fallait s'en douter, il y a à nouveau un contre-exemple

[2nis]

Bonjour,

je pense que c'est le programme qui ne marche pas. Le premier contre-exemple est 28, donc bien plus petit :

(1 + 2 + 4 + 7 + 14)
(pareil)



Donc
(se termine bien par 19)

Mais 28 n'est pas premier

[2nis]

...alors ce nombre est toujours premier.

Que désigne "ce nombre" ? le nombre n ou bien le résultat du calcul ?

Si c'est le résultat du calcul, alors le premier contre-exemple est 3500
(1 + 2 + 1750 + 4 + 875 + 5 + 700 + 7 + 500 + 10 + 350 + 14 + 250 + 20 + 175 + 25 + 140 + 28 + 125 + 35 + 100 + 50 + 70)
(1 + 2 + 2618 + 4 + 1309 + 7 + 748 + 11 + 476 + 14 + 374 + 17 + 308 + 22 + 238 + 28 + 187 + 34 + 154 + 44 + 119 + 68 + 77)
(se termine pourtant bien par 99)

[Ben314]

Salut,
La façon usuelle de calculer la fonction , c'est de sommer tout les diviseurs positifs de , y compris et (vu que c'est comme ça qu'on a les meilleures propriétés arithmétiques).
Alors que pour que tu trouve , c'est que tu n'a pas pris le dans ta somme.

En faisant le calcul avec la définition standard, tu trouve puis puis qui n'est pas premier (=19x29x47) mais qui n'est pas non plus congru à -1 modulo 20.

[2nis]

Effectivement en prenant en compte le nombre lui-même dans les diviseurs je trouve bien 86659. Le suivant est 104287. Deux nombres non premiers sur plus de 100000, la coïncidence est troublante.

[Ben314]

Non, ça n'a rien de surprenant : tu ne regarde que des qui sont congrus à 2 modulo 4 (la condition de l'énoncé dit précisément que doit être congru à -1 modulo 20) et ça, ça signifie que pour un certain nombre premier impair et un entier (plus le cas particulier ).
Donc si jamais (ce qui est le cas le plus fréquent si tu tire des nombre au pif), tu as directement premier.
Donc si tu impose des trucs en plus, par exemple que soit d'une certaine forme et/ou que soit congru à je sais pas quoi, il est fort probable qu'une grande quantité des qu'il va te rester après ton "tri" soient premiers.

En fait, en ne gardant que les congrus à 2 modulo 4, si pour le tu met une formule saugrenue de façon à ce que ne soit jamais une puissance (plus grande que 1) d'un nombre premier, ni le double d'une telle puissance, alors ça sera vrai (et assez trivial) que tout les seront premier. Le tout c'est de trouver une formule sympatique ayant cette propriété de ne jamais donner de puissance première.
Là, avec c'est raté : ça donne des fois des puissances de nombre premiers :
Pour n=86659 et n=104287, dans les deux cas, ça donne .
Le contre exemple suivant n=299538 donne
En fait, sur tout les premiers contre-exemple, est le cube d'un nombre premier, jamais le carré : peut-être que ça se démontre et ça expliquerais que les contres exemples sont relativement loin (déjà, les carrés de nombre premiers sont plus rare que les premiers eux-même, mais les cubes, c'est encore plus rare)

[Craw]

Bonjour,

Jusqu'à n=10^7 on ne trouve que des contre-exemples finissant par 99, 39 ou 19.
Ma nouvelle conjecture est que les nombres finissant par 59 et/ou 79 sont tous premiers.

Qu'en pensez-vous ?