[MP] séries

[ghghgh]

Bonjour,
je suis en train de réfléchir sur l'exo suivant :

Existe-t-il un injection telle que

série soit convergente ?

J'aimerais dire non car je ne vois pas d'autres moyens de faire telles injections que constante + n ou constante * n, ce qui me laissera avec une somme de série convergente + série divergente (en comportement : 1/n), donc la série serait divergente.

Mais je ne sais pas du tout comment on peut le rédiger proprement, et je n'ai pas d'idées d'arguments pour affirmer que l'injection aurait cette forme.

Merci pour toute aide

[girdav]

Bonjour,
pense au critère de Cauchy.

[ghghgh]

Très bien, en faisant avec la négation du critère de Cauchy :

Si on peut trouver deux fonctions strictement croissante phi_1(n) et phi_2(n) : N -> N avec [TEX]\forall n \phi_{1}(n) +oo alors série des un est divergente.

Si je prends phi_1(n) = n et phi_2(n) = n^2, fonctions strictement croissantes telles que phi_1 = 1 en l'infini.

Enfin, cette injection particulière ne convient pas, mais comment le montrer pour toutes ? Peut-être qu'on peut choisir phi_1 et phi_2 (en fonction de phi) de telle manière à "compenser" phi, de manière à obtenir S_phi_2 - S_phi_1 >= k ?

[girdav]

Si on prend injective quelconque et que l'on note , comment minorer par exemple ?

[ghghgh]

>=
>=

Et comme le min des phi doit dépendre au moins de n, sinon on ne peut la construire injective...

S_2n - S_n est minorée par une constante et donc ne tend pas vers 0.

Donc il n'existe pas de phi injective de N dans N telle que la série soit convergente.

[girdav]

Attention, le des peut mal dépendre de (si par exemple).
Mais tu peux minorer autrement la différence : , etc...

[ghghgh]

Oui, mais ce que je voulais dire, c'est au moins de n. Que ce soit n^2, n^3, n^..., on ne tendra pas vers 0 en l'infini. phi(n) = cst*n ou cst+n est il me semble la plus petite injection de N* dans N*.
Okay pour l'autre minoration !!! :)

Du coup, S_2n - S_n >= n(n+1)/2 qui ne tend pas vers 0 en l'infini.
Donc non existence de phi.

[girdav]

Tu oublies de diviser par ce qui donne que et contredit le critère de Cauchy (puisque l'on peut prendre n'importe quel ).
édit : en fait dans ce cas même pas besoin du critère de Cauchy, puisque l'on voit que l'on ne peut pas avoir convergence de la suite des sommes partielles.

[girdav]

Qu'est-ce que tu entends exactement par "plus petite injection"?

[ghghgh]

Merci ! :)

Par "plus petite injection", j'entendais que l'on ne peut trouver d'injection de N dans N ayant une plus faible croissance que n, et que les autres injections seraient des O(n^a) avec a > 1.

Donc si le min était de la forme O(n^a) avec a >= 1, le rapport min / 4n
tendrait "au moins" vers une constante et sinon vers +oo en l'infini, donc dans tout les cas le critère de Cauchy ne serait pas vérifié.