Séries entières et équations différentielles

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jero
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Séries entières et équations différentielles

par jero » 12 Mai 2009, 14:58

bonjour à tous,j'ai un devoir à faire mais je reste un peu bloquée.Mon problème est le suivant:
on me demande de développer (arcsin x)^2 et (log(1+x))^2 et de former pour chacune de ses fonctions une équation différentielle du second ordre dont elles sont solutions
j'ai tout d'abord poser f(x)=(arcsin x)^2
j'ai ensuite calculé f'(x) et f''(x) mais après je ne sais pas trop ce que je dois faire pour répondre à ce problème



busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 12 Mai 2009, 16:20

Bonjour,

soit

quand on calcule y", on voit apparaitre comme deuxième terme de la somme
la fonction y'.

L'équation différentielle obtenue est extrêment agréable,
avec des polynômes et pas de racine carrée.

Même phénomène pour la (2).


Ces deux fonctions ont des fonctions dérivées algébriques.

girdav
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par girdav » 12 Mai 2009, 17:51

Bonjour;
Il y a le même post sur l'île des mathématiques, en deux fois d'ailleurs.
Le calcul des dérivées est le même dans les deux forums.

jero
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par jero » 14 Mai 2009, 15:52

bonjour j'ai trouvé les deux équations différentielles en calculant les dérivées et je trouve (1-x^2)f''(x)=(xf'(x)/2)+2 pour la fonction (arcsin x)^2
et (1+x)^2f''(x)=2-(1+x)f'(x) pour la fonction (log(1+x))^2
ensuite je pose f(x)= série des a(n)x^n
d'où f'(x)=série des na(n)x^(n-1) et f''(x)=série des n(n-1)a(n)x^(n-2)
ensuite je remplace dans chacune des équations différentielles et je dois identifier les coefficients pour chaque degrès de x
par exemple,quand je remplace dans l'équation différentielle concernant la fonction (log(1+x))^2,je trouve en 0:2a(2)=2-a(1)

jero
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par jero » 14 Mai 2009, 15:55

en degré 1 je trouve 4a(2)+6a(3)=-a(1)-2a(2)
en degré 2 je trouve 2a(2)+12a(3)+12a(4)=-2a(2)-3a(3)
je ne trouve pas de relation,je ne sais pas comment terminer cet exercice,qu'elqu'un a-t-il une idée?
merci d'avance

jero
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par jero » 14 Mai 2009, 16:05

je pense qu'au départ je n'ai pas tout à fait bien exprimer mon sujet,en fait le but de cet exercice et de développer (arcsin x)^2 et (log(1+x))^2,en formant pour chacune des fonctions une équation différentielles dont lles sont solutions.
comme je l'ai dit précédemment je suis parvenue à trouver les 2 équations mais comme je l'ai expliqué ci-dessus,je n'arrive pas a ma dépatouiller pour trouver le développement en série entière malgré mon identification des coefficients
merci d'avance pour votre aide

Pythales
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par Pythales » 14 Mai 2009, 16:38

Pour la 1ère équation, je trouve
avec , et
(sauf erreur)

jero
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par jero » 14 Mai 2009, 19:58

moi j'ai un pb,je ne trouve pas la même équation que toi,j'ai
(1-x^2)y''-xy'/2=2
une fois que j'ai exprimé a(k+2) comment dois-je faire pour exprimer mon développement?

jero
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par jero » 14 Mai 2009, 22:16

en réalité c'est bon, j'ai trouvé cette équation. mais ma question tient toujours.
merci de votre aide!

jero
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par jero » 14 Mai 2009, 22:18

je n'arrive pas non plus à trouver la relation entre les ak pour le log.

jero
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par jero » 15 Mai 2009, 13:15

merci pour ton aide pythales,j'ai réussi à retrouver ce résultat pour la 1ère équation.par contre pour conclure mon développement,me suffit-il simplement de dire que (arcsin x)^2 = série des (a(k+2)(k+1)(k+2)/k^2) x^n?

jero
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par jero » 15 Mai 2009, 13:52

en ce qui concerne la 2ème équation différentielle,j'ai trouvé une relation entre les a(k):
j'obtiens : (k-1)k a(k)=2*(-1)^k-(k-1)^2*a(k-1)
ai-je bon?

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 15 Mai 2009, 15:43

bonjour,

la méthode des DSE est simple:

exprimer toutes les séries sous la forme


+ quelques termes de début

éventuellement en ayant fait le changement d'indice
n=k-1
ou
n=k-2

une fois trouvée la solution, on peut vérifier qu'elle coïncide
avec le carré d'un DSE (produit de Cauchy = produit de convolution sur
les coefficients)

Pythales
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par Pythales » 15 Mai 2009, 16:04

En règle générale :
Tu as trouvé une relation de la forme (en décalant l'indice)
Il faut distinguer le cas et
Pour le 1er :


...........................

soit :

en fonction de l'expression de le produit se simplifie presque toujours.
Dans ce cas, la série est .
Même méthode pour

jero
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par jero » 15 Mai 2009, 18:52

je ne comprends pas du tout pourquoi on doit faire cela pythales
de plus je ne comprends pas le raisonnement
je suis complètement perdue !!! peux-tu m'éclaircir un peu plus
as-tu regardé la relation que j'ai trouvé pour les ak de la 2ème équation?est-elle juste cette relation?

jero
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par jero » 15 Mai 2009, 19:02

je suis entrain de regarder la relation que tu m'as donné,si je comprends bien,je dois faire une distingtion de cas car on a une relation entre a(k) et a(k-2)
par contre dans ma relation qui concerne la 2ème équation j'ai une relation entre a(k) et a(k-1) dois-je aussi faire cette distingtion?
par contre je ne vois pas pourquoi tu conclus que (arcsin x)^2= serie de 2 à l'infini a(2p)x^(2p)?
je dois également expliciter la vaeur de a(2p) en fonction de k je suppose?

jero
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par jero » 15 Mai 2009, 19:11

pour le cas k=2p+1
dois-je aller jusqu'à a(3)=f(3)a(1)
soit alors a(2p+1)=f(3)f(5)...f(2p-1)f(2p+1)a(1)

Pythales
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par Pythales » 15 Mai 2009, 19:20

La réponse est oui à ta dernière question
Pour la 2ème, je trouve effectivement mais si on adopte la méthode précédente, on trouve une relation de récurrence sur
Il vaut mieux écrire l'équation sous la forme et développer en série avant d'identifier.
(et je viens de me rendre compte que ta relation du message #12 est bonne)
Par ailleurs, n'oublie pas que les fonctions dont tu cherches le développement en SE sont une des solutions des équations que tu as formées, puisque tu sais que ces équations admettent deux solutions linéairement indépendantes.

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fourize
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par fourize » 15 Mai 2009, 19:22

bonjour Jero!

trois à ... posts pour repondre à une seule personne :doh:
comme ça tu sature le forum !!!!!!!

PS. je te lirai plus tard dans la soirée pour rigoler lol
* In God we trust, for all others bring data *

jero
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par jero » 16 Mai 2009, 12:32

pour la relation (k-1)ka(k)=(-1)^n*2-(k-1)^2a(k-1)
dois-je aussi distinguer les cas k=2p et k=2p+1?
et pour conclure l'exercice je n'ai simplement qu'à dire que la série est série des a(2p)x^(2p) ( de même avec a(2p+1))? en explicitant a(2p)?

 

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