Dérivation

par **Crono** » 26 Mar 2006, 15:13

bonsoir tout le monde.
J'ai un pti prob sur un exo sur la dérivation...

soit f de classe D2 / f '' (x) >= 0, montrer que f bornée => f est nulle
indic : g(x)=f(x) - f '(xo)x

merci d'avance et bon dimanche :)

par **Mike_51** » 26 Mar 2006, 16:03

si je prends f:x->1, c'est C², f''>=0, et f est bornée mais c pas nulle.

par **Crono** » 26 Mar 2006, 20:44

oui effectivement, dans ce cas disons f ''(x) > 0...
désolé.. :)

par **Crono** » 26 Mar 2006, 21:14

mais si f est nulle, f '' ne peut pas etre strictement superieure a 0...
bon je penche pour l'hypothèse de la faute dans l'énoncé alors...
merci quand meme :)

par **abcd22** » 26 Mar 2006, 22:09

Si f est définie sur R, f'' positive et f bornée sur R alors f est constante, c'est un résultat sur les fonctions convexes en fait.
Avec

, on a

. On montre que g admet un minimum en

(puisque f' est croissante), on écrit que pour tout x,

, on en déduit une minoration de f par une fonction affine, et on trouve une contradiction avec f bornée si

.

par **Crono** » 27 Mar 2006, 18:49

g(x) = f(x) - f(xo)x donc g'(x) = f '(x) - f '(xo)
g admet donc un extremum en xo, mai deja je vois pas pq c'est un minimum (que fous-je en Maths Sup me direz vous?)
donc bref admettons que c'est un minimum d'ou g(xo)
donc f(xo) - f(xo)xo soit f(x) >ou= f '(xo)x + f(xo) - f '(xo)xo

soit f minorée par une fct affine, ce qui ne peut etre vrai, dans le cas ou f est bornée, que si f '(xo)=0, donc f(xo)=cste, mais cela n'implique pas f cste, puisque f(xo) est de toute facon une constante, puisque xo est fixé,non? je m'embrouille?

merci d'avance et bonne soirée :)

par **abcd22** » 27 Mar 2006, 20:22

Comme f'' est positive, f' est croissante, donc g' aussi, c'est pour ça qu'on peut dire que g' est négative avant x0 et positive après, et que l'extremum est un minimum.
On trouve f'(x0) = 0, mais comme on n'a pas imposé de condition particulière à x0 on a

, d'où f constante.

Dérivation

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