[L1] Dérivation - Convexité

par **benekire2** » 29 Sep 2010, 18:16

Bonsoir,

Dans mon cours sur la dérivation il y a un paragraphe convexité assez court ( mais j'ai regardé ailleurs et c'est pareil) et je reste bloqué sur un exo qui doit se faire avec deux/trois théorèmes au max ... coici l'énoncé :

1. Soit f convexe, montrer que

existe.
2. On suppose que cette limite est lR. Montrer que la fonction g définie par g(x)=f(x)-lx est convexe.
3. Montrer que g est décroissante puis que g possède une limite en l'infini.

La 1,2 et fin de la 3 je les ai faites. Ce qui me bloque c'est de montrer que g est décroissante et je ne vois pas trop comment faire.

Merci de votre aide :lol3:

par **Arnaud-29-31** » 29 Sep 2010, 18:35

Salut benekire,

L'exponentielle est convexe et

par **benekire2** » 29 Sep 2010, 18:42

Salut arnaud , e^x/x tend vers l'infini ... donc la limite existe bel est bien. Dans la suite on suppose que cette limite est réelle. :id:

par **Arnaud-29-31** » 29 Sep 2010, 19:01

Tu as réussis la 1) ? (EDIT : je suis trop à la ramasse, j'avais pas lu la fin de ton post ^^)
Soit on à une stricte convexité et le fait que

diverge en

saute aux yeux.
Soit la convexité n'est pas stricte et le cas ou la limite est réelle correspond au cas ou f(x) admet une asymptote en

par **benekire2** » 29 Sep 2010, 19:04

Oui, je suis dans la question 3 , je n'arrive pas a montrer la décroissance de g.

par **Arnaud-29-31** » 29 Sep 2010, 19:09

Bein si on note a l'ordonnée à l'origine de l'asymptote à f en

on a g qui admet pour asymptote la droite d'équation y = a.
Le coefficient directeur de cette asymptote vaut 0 et le coefficient directeur de la courbe représentée par g ne fait que croître (puisque g convexe) ...

par **benekire2** » 29 Sep 2010, 19:27

OK, ça doit être moi, mais je trouve pas ça très "rigoureux" je vois bien l'histoire des taux d'accroissements qui grandissent derrière, mais le problème c'est que le fait que tu me dise que g admet une asymptote de la forme y=a "tue" la question suivante ou on doit montrer que g possède une limite .. y a pas un autre moyen ? Merci quand même :zen:

par **Arnaud-29-31** » 29 Sep 2010, 19:29

Oui c'est ce que j'étais en train de me dire, que comme ca l'exo se mord la queue ^^ Je te dis si je vois autre chose.

par **benekire2** » 29 Sep 2010, 19:57

ok merci :zen:

par **girdav** » 29 Sep 2010, 20:44

Le titre semble mentionner des conditions de dérivabilité. Quelles sont-elles?

par **benekire2** » 29 Sep 2010, 22:14

Salut girdav, le titre est simplement là parce que ça fait partit du cours sur la dérivation. Mais bon toute fonction convexe est dérivable a droite et a gauche en chaque point. Je ne pense pas que ça serve ici .

Vous avec des idées ?

par **Arnaud-29-31** » 29 Sep 2010, 22:28

Est-ce que avant d'attaquer la question 3 tu as f'(x) < l ?

par **benekire2** » 29 Sep 2010, 22:36

Non, je n'ai rien de tout cela .. j'ai simplement montrer pour la 2 que g est convexe en utilisant le fait que f l'est et la définition. Je n'ai vraiment rien ...

par **Ben314** » 30 Sep 2010, 18:57

Salut à tout les deux.
Avant de commencer à réfléchir, je signale que je pense comme Arnaud : l'énoncé est "mal foutu".
A mon sens, lorsque l'on ne précise rien, la question "... admet une limite" signifie une limite finie.
Lorsque l'on accepte une limite infini, il faut le dire en précisant "... admet une limite éventuellement infinie" ou bien "... une limite dans

"

Edit : en fait, la remarque vaut aussi pour le 3) ou la limite de g en +oo risque fort de ne pas exister (d'ètre infinie).

Edit 2 : (Question) ta fonction, elle est supposée être définie sur quoi ? à valeurs où ?

par **benekire2** » 30 Sep 2010, 19:04

oui, l'énoncé énonce " montrer que f(x)/x admet une limite quand x tend vers l'infini. On note l cette limite.

Et f est une fonction convexe de R+ dans R . C'est peut être de là que vient le mal , mais je ne pense pas.

par **Ben314** » 30 Sep 2010, 19:15

Bon,
je le redit, je trouve l'énoncé trés mal rédigé. Si dans "admet une limite" on acceptait que la limite soit infinie, on pourrait dire que "toute suite croissante admet une limite" or, le théorème que l'on trouve partout dite que "toute suite croissante et majorée admet une limite".

Bon, sinon, grâce à la convexité de f, il est facile de vérifier que, pour x fixé, la fonction y->(f(y)-f(x))/(y-x) est croissante sur ]x,+oo[.
Il est aussi clair que cette fonction tend vers L (la limite de f(t)/t lorsque t->oo) lorsque y->oo.
On en déduit que, pour tout y>x, (f(y)-f(x))/(y-x)=<L ce qui signifie que f(y)-Ly=<f(x)-Lx.

par **benekire2** » 30 Sep 2010, 19:20

Ah le fameux "chainon manquant" j'étais partit sur la croissance du taux d'accroissement mais j'avais pas su continuer ...

Merci beaucoup ;)

Oui l'énoncé est assez mal foutu, d'habitude l'auteur précise " dans R U {oo}" mais pas là...

Mais comme après on ce centre sur le cas où f(x)/x --> L R ça va.

par **benekire2** » 01 Oct 2010, 13:01

Bonjour, je bosse sur la méthode de newton et une ou deux questions m'embêtent.

Soi f une application de classe C2 de I dans R f s'anule en un unique point z et f' ne s'anule pas. On pose

Puisque z appartient à l'intérieur de I , il existe a>0 tel que ]z-a,z+a[ soit inclus dans I.

Montrer que

Le problème c'est que j'ai essayé avec l'approximation affine mais je suis pas arrive au résultat ...

Merci de votre aide !

par **benekire2** » 01 Oct 2010, 16:56

Bon alors il se trouve que j'ai trouvé la réponse a ma question cette après midi avec la formule de Taylor Lagrange avec reste.

Par contre la question suivante me pose des problèmes aussi.

--> En déduire l'existence d'un réel b de ]0,a[ tel que pour tout x de ]z-b,z+b[ on ait :

Sauf que bon pour le |x-z|² ça correspond a h² mais pour le 1/10b je ne vois pas d'où il sort a vrai dire. Des idées ?

par **benekire2** » 01 Oct 2010, 17:12

Bon alors il se trouve que j'ai trouvé la réponse a ma question cette après midi avec la formule de Taylor Lagrange avec reste.

Par contre la question suivante me pose des problèmes aussi.

--> En déduire l'existence d'un réel b de ]0,a[ tel que pour tout x de ]z-b,z+b[ on ait :

3$ |F(x)-z|\le \frac{|x-z|^2}{10b}

Sauf que bon pour le |x-z|² ça correspond a h² mais pour le 1/10b je ne vois pas d'où il sort a vrai dire. Des idées ?

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