Union dénombrable d'ouverts

[seriousme]

Bonjour,

Soit l'espace mesurable .
Soit la famille d'intervalle .

Est-ce que ces égalités sont exactes :

et celles-ci fausses :

?

Merci.

[ffpower]

Tes 2 égalités sont vraies.Apres faut voir ce que tu entend par limite d ensembles,mais pour la définition usuelle,une limite d ensembles croissants c'est l union,donc ca marche...

[seriousme]

Merci de la réponse.

Mais donc cette nouvelle égalité :

est fausse ?

Sinon elle rentrerait en contradiction avec la deuxième.

Mais pourquoi ce calcul est faux :

?

Merci.

[SimonB]

Les égalités d'ensembles se démontrent en général par double inclusion.

Essaye donc (sans faire de "calcul" hasardeux sur des ensembles, sachant que tu ne sais pas vraiment ce qu'est une limite d'ensembles...) de faire l'une et l'autre inclusion.

Indice : l'une doit fonctionner très bien. L'autre est fausse, et donc tu n'y arriveras pas. Mais c'est utile d'essayer quand même !

[Doraki]

Mais pourquoi ce calcul est faux :

?

Parceque tu sembles croire qu'il existe une notion de "limite" ensembliste, donc déjà tu sais pas toi-même de quoi tu parles, et pire, tu crois qu'il y aurait un miracle qui ferait que "x -> [a ; x]" serait une fonction continue de R dans un bidule qui serait une sorte d'espace d'intervalles ou je ne sais quoi compatible avec tes "limites". Donc voilà pourquoi tu as des résultats incohérents.

Donc comme le dit SimonB, évite de vouloir faire des "calculs" sur des trucs que tu n'as même pas définis.
On pourrait interpréter la limite d'une suite décroissante d'ensembles comme l'intersection de tous ces ensembles en même temps, ainsi que la limite d'une suite croissante comme la réunion.
Déjà là, en remplaçant les limites par des unions ou des intersections, tu peux savoir au moins de quels ensembles tu parles. Et ensuite, montrer que 2 ensembles sont égaux ça se fait pas en calculant mais avec un raisonnement.

[seriousme]

D'accord, donc le problème est le passage à la limite qui est en effet "hasardeux".

Donc si l'on défini la limite de cette suite croissante comme étant l'union des intervalles, donc le plus grand, il sera toujours ouvert et tendra donc vers : .

Sinon existe-il des définitions rigoureuses de limites de suites d'ensembles ?

Merci.

[ffpower]

Il y a bien une limite ensembliste,mais comme je le craignait ce n est pas celle qu il croit:lim(An)=A ssi la fonction caractéristique de An tend vers la fonction caractéristique de A ssi limsup(An)=liminf(An)=A ou limsup(An) est l'ensemble des éléments appartenant a une infinité de An,et liminf(An) étant l ensemble des éléments appartenant a tous les An sauf un nb fini.Cela dit,cette notion de limite n'est pas tres utile(j ai vu la definition mais j en ai jamais vu une application).La limsup d ensembles,elle,l est un peu plus(borel cantelli par ex..)

[seriousme]

Donc en utilisant la caractérisation par la limsup, la limite de la suite est [0].

Et par conséquent celle de est .

Et de même pour et .

Cependant ce sont des intervalles ouverts; mais est-ce qu'une suite d'intervalles fermés différente de peut converger vers ?

Merci.

[Antho07]

Si on definit

(je precise c'est important)

alors

si je dis pas de betises (vu l'horaire...)



maintenant si on se place dans
alors




ps: les sont tous des intervalles fermés

[seriousme]

Merci pour cet exemple.

En effet, selon que l'ensemble est ou les sont respectivement des fermés ou des ouverts.