Ensemble dénombrable

[Nightmare]

Je ne comprends pas trop ton raisonnement, en gros tu nous dis que vu que les 4 premiers entiers sont déterminés de manière unique par f alors c'est vrai pour tous les entiers? Ca te semble correct?

[wotan2009]

Je ne comprends pas trop ton raisonnement, en gros tu nous dis que vu que les 4 premiers entiers sont déterminés de manière unique par f alors c'est vrai pour tous les entiers? Ca te semble correct?

Non mais ça m'arrangerait . Mais sérieusement pour en revenir à mon problème initial, je ne sais pas comment démontrer qu'il y a une bijection entre ma fonction et l'ensemble des entiers naturels.

[Ben314]

Oui mais si il fallait le démontrer je ne saurai pas le faire. A part en remplaçant par des valeurs concrètes.

Si je te donne un entier "concret" : par exemple n=2009, saurait tu montrer qu'il existe un unique couple (x,y) de N^2 tel que f(x,y)=2009 ?

[wotan2009]

Si je te donne un entier "concret" : par exemple n=2009, saurait tu montrer qu'il existe un unique couple (x,y) de N^2 tel que f(x,y)=2009 ?

Euh.... non, pas à ma connaissance.

[Doraki]

Qu'il n' y a qu'une seule image au couple (1,2)

Bien, alors, est-ce qu'il y a plusieurs images au couple (1,2) ?

[Doraki]

f(1, 2) = 7

Bien, alors, est-ce que (1,2) peut avoir plusieurs images ?
Est-ce que 7 peut avoir plusieurs antécédents ?
Par exemple, est-ce qu'il est possible que f(x,y) = 7 si (x+y) >= 4 ?

[wotan2009]

Bien, alors, est-ce que (1,2) peut avoir plusieurs images ?
Est-ce que 7 peut avoir plusieurs antécédents ?
Par exemple, est-ce qu'il est possible que f(x,y) = 7 si (x+y) >= 4 ?

Non, la fonction est bijective, mais cela on me le dit dans l'énoncé. Comment le prouver ?

[Ben314]

A tu compris quelle "équation" tu doit "résoudre" ?
(Ici, l'équation est assez compliqué à résoudre , c'est pourquoi on t' conseillé de faire un dessin pour "voir comment ca marche")

Mais comprend tu ce qu'il faut montrer ?

[jeancam]

Au passage, tu remarqueras que je n'ai pas vraiment mis Q et N en bijection mais seulement en injection, cela suffit bien sûr à prouver que Q est dénombrable.

bonjour à tous.
peut etre un peu rapide ce "bien sûr"...

[Doraki]

Non, la fonction est bijective, mais cela on me le dit dans l'énoncé. Comment le prouver ?

Ben pour commencer, je te propose d'essayer de prouver que si x+y >= 4, alors f(x,y) > 7, et donc que les antécédents de 7 sont donc dans les 10 couples d'entiers (x,y) où x+y < 4.
Après, tu pourras regarder les images de ces 10 couples un par un, et là, si c'est vrai, tu auras peut-être montré que 7 a un seul antécédent.

[wotan2009]

A tu compris quelle "équation" tu doit "résoudre" ?
(Ici, l'équation est assez compliqué à résoudre , c'est pourquoi on t' conseillé de faire un dessin pour "voir comment ca marche")

Mais comprend tu ce qu'il faut montrer ?

L'équation que tu m'as demandé de résoudre c'est x + (x + y)(x + y + 1)/2 = 2009, mais je ne sais pas la résoudre.
Sinon ce que je dois montrer pour l'exercice c'est que le produit NxN est dénombrable, pour cela on me donne une application f(x,y) = x + (x + y)(x + y + 1)/2 et il faut que je montre pourquoi elle est bijective.
En prenant comme suggéré plus haut, je vois bien qu'il n'y a qu'un résultat possible (dans N) pour chaque couple de l'intervalle , mais comment le montrer pour tout couple de N² ?

[Ben314]

L'équation que tu m'as demandé de résoudre c'est x + (x + y)(x + y + 1)/2 = 2009

C'est exactement cela (et si ca ne te fait "pas trop peur", on peut direct. mettre un n à la place de 2009, mais je me demande si ca te rassurerais pas qu'on le garde...)

Cette équation est TRES DIFFICILE à résoudre (il y a deux inconnues) d'où toutes les différentes "indics" données par un peu tout le monde.
La mienne (d'indic.) (qui est la même que doraki, mais moi j'ose 2009 dés le début!!!) c'est de dire que :
Pour trouver x et y, on va chercher x et s=x+y (une fois qu'on aurra s et x on prendra y=...)
Peut tu réécrire l'équation avec s et x ?
comment doivent être s et x pour que x et y soient des entiers naturels ?

[wotan2009]

Ben pour commencer, je te propose d'essayer de prouver que si x+y >= 4, alors f(x+y) > 7, et donc que les antécédents de 7 sont donc dans les 10 couples d'entiers (x,y) où x+y < 4.
Après, tu pourras regarder les images de ces 10 couples un par un, et là, si c'est vrai, tu auras peut-être montré que 7 a un seul antécédent.

Je suppose que si alors vient de la nature de la fonction qui est croissante ? Désolé si je m'égare mais c'est tout ce que je vois pour le prouver.

[wotan2009]

Pour trouver x et y, on va chercher x et s=x+y (une fois qu'on aurra s et x on prendra y=...)
Peut tu réécrire l'équation avec s et x ?
comment doivent être s et x pour que x et y soient des entiers naturels ?

x + (s)(s + 1)/2 = 2009 ?

comment doivent être s et x pour que x et y soient des entiers naturels ?

positif ou nul ?

[Ben314]

Impec. (sauf que le mot "croissante" pour une fonction avec deux variables, c'est pas trés clair ce que ca veut dire).
Pour n=2009, arrive tu a trouver (en tatonant) une valeur MAXI pour x+y (que je te conseillerais d'appeler s vue qu'on va beaucoup l'utiliser)

P.S. j'avais pas eu le temps de lire ton post...
C'est O.K. arrivé là tu peut soit chercher avec le 2009 ci dessus et/ou chercher ce que je te demandais concernant x et s (à la fin on prendra y=... et pour que y soit positif ou nul, il faut que...)

[wotan2009]

Bonsoir, je reviens sur l'exercice.

Pour n=2009, arrive tu a trouver (en tatonant) une valeur MAXI pour x+y (que je te conseillerais d'appeler s vue qu'on va beaucoup l'utiliser)

56 + (56+6)(56+6+1)=2009
x=56
y=6

[sowasamo]

J'aurai aussi une question un peu plus générale. Par définition, un ensemble dénombrable est un ensemble dans lequel chacun des éléments de l'ensemble peut être mis en bijection avec un élément de l'ensemble N.
C'est bien les définitions mais cela ne m'aide pas vraiment à résoudre un problème concret. Quelle technique pratique permet de dénombrer un ensemble ? Comment dénombrer un ensemble concrètement ?

cocretement, denombrer un ensemble c'est compter ses eleements. si tu arrive à le faire, alors tu as établi la bijection avec une partie de N . si c'est impossible alors l'esemble est non dénombrable. c'est le cas par exemple de [0;1]
j'espere que cela pourra t'aider

[wotan2009]

cocretement, denombrer un ensemble c'est compter ses eleements. si tu arrive à le faire, alors tu as établi la bijection avec une partie de N . si c'est impossible alors l'esemble est non dénombrable. c'est le cas par exemple de [0;1]
j'espere que cela pourra t'aider

Merci de ta réponse mais compter de quelle manière ? Je n'y arrive pas. Je vais faire le naif pour illustrer le fait que je n'y arrive pas.
Je prend le premier couple dans N² (0, 0) et je compte 1,
je prend le deuxième couple dans N² (0, 1) et je compte 2,
je prend le troisième couple dans N² (1, 0) et je compte 3,
je prend le quatrième couple dans N² ((1, 1) et je compte 4 et ainsi de suite.
C'est ça compter ? Je peux dire que c'est dénombrable maintenant ? Quel est la technique pour compter.
Je vais prendre un autre exemple cette fois qui n'est pas dénombrable.
L'ensemble des parties de N => P(N), je dois donc trouver un moyen de compter chaque partie de N. Je vais prendre une première partie de N, qui sera l'ensemble des nombres pairs.
Donc je prend l'ensemble des nombres pairs et je compte 1.
ensuite l'ensemble des nombres impairs et je compte 2.
ensuite l'ensemble des nombres parfaits et je compte 3...
Je peux aller loin comme ça.

[alavacommejetepousse]

Merci de ta réponse mais compter de quelle manière ? Je n'y arrive pas. Je vais faire le naif pour illustrer le fait que je n'y arrive pas.
Je prend le premier couple dans N² (0, 0) et je compte 1,
je prend le deuxième couple dans N² (0, 1) et je compte 2,
je prend le troisième couple dans N² (1, 0) et je compte 3,
je prend le quatrième couple dans N² ((1, 1) et je compte 4 et ainsi de suite.
C'est ça compter ? Je peux dire que c'est dénombrable maintenant ? Quel est la technique pour compter.
Je vais prendre un autre exemple cette fois qui n'est pas dénombrable.
L'ensemble des parties de N => P(N), je dois donc trouver un moyen de compter chaque partie de N. Je vais prendre une première partie de N, qui sera l'ensemble des nombres pairs.
Donc je prend l'ensemble des nombres pairs et je compte 1.
ensuite l'ensemble des nombres impairs et je compte 2.
ensuite l'ensemble des nombres parfaits et je compte 3...
Je peux aller loin comme ça.

bonsoir je t 'ai dit comment on voyait sur le dessin qu on passait en revue tous les couples sans en oublier et sans en compter un deux fois

[wotan2009]

bonsoir je t 'ai dit comment on voyait sur le dessin qu on passait en revue tous les couples sans en oublier et sans en compter un deux fois

Oui j'ai fait le dessin et effectivement je vois bien comment compter les diagonales, et je vois bien qu'il y a q + 1 position, mais:
1 ) je t'avoue que j'ai un peu de mal a voir le rapport avec ma fonction f(x,y)=x + (x+y)(x+y+1)/2, au premier abord, je n'aurai donc pas trouver de moi même cette solution.
2 ) ta solution est pratique pour faire comprendre les choses, mais je ne peux pas faire de dessin sur ma feuille d'exercice. Le graphique n'est pas une démonstration, et je n'arrive pas a sortir quelque chose de général à partir du graphique.