Base de Hilbert
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silent_james
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par silent_james » 05 Nov 2008, 14:54
Bonjour,
J'ai une question vraiment stupide mais qui me bloque pr les preuves...
Si {ei} est une base de Hilbert de H alors par définition l'adhérence de "vect{ei} avec i dans N" est égale à H (N entiers naturels).
Si u appartient à vect{ei, i dans N} alors est-ce que u est la somme de j=0 à l'infini de aj*ej ou u est la somme de j=0 à un certain M entier naturel ?
Merci.... si quelqu'un ose me répondre lol
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Joker62
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par Joker62 » 05 Nov 2008, 14:59
Haileau
Si on a un Hilbert H qui admet une base ( Pas dans le sens algébrique mais bien dans le sens d'une suite totale dans H ) alors tout éléments x de H peut s'écrire comme somme d'une série de terme général a_i . u_i
Maintenant pour le reste il vaut mieux choisir cette base orthonormée, ce qui nous donne pas mal de jolies formules ( En sachant que tout espace de Hilbert séparable admet une base orthonormée )
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silent_james
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par silent_james » 05 Nov 2008, 15:04
Je te remercie Joker62, mais en fait ma question portait sur un problème de compréhension de la définition de vect{ei}.
si u appartient à vect{ei, i dans N} alors est-ce u s'écrit comme une série ou comme une somme de série ?
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Joker62
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par Joker62 » 05 Nov 2008, 15:11
Tout x de H s'écrit comme somme d'une série.
x = Sum(k=0..infini) a_k . u_k
pour des certains a_k
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silent_james
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par silent_james » 05 Nov 2008, 15:13
Oui ça j'ai compris lool mais ça ne répond pas à ma question...
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silent_james
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par silent_james » 05 Nov 2008, 15:16
Sans parler d'espace H de Hilbert, si u est dans vect{ei, i dans N},
Est-ce que u est une combinaison linéaire finie de vecteurs ?
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Joker62
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par Joker62 » 05 Nov 2008, 15:18
Bah ça répondais parfaitement à ta question :D
Dans le cas des espaces Vectoriel, un vect d'une famille, c'est une combinaison linéaire des éléments de la famille, donc c'est une somme finie, et c'est pas une Série.
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silent_james
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par silent_james » 05 Nov 2008, 18:36
Donc {ei, i appartenant à N} est bien une famille finie, merci ;)
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Joker62
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par Joker62 » 05 Nov 2008, 18:51
Bah non :^)
N n'est pas fini :^)
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silent_james
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par silent_james » 05 Nov 2008, 19:12
Donc tu te contredis lool
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leon1789
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par leon1789 » 05 Nov 2008, 19:14
oula... :zen:
silent_james a écrit:Sans parler d'espace H de Hilbert, si u est dans vect{ei, i dans N},
Est-ce que u est une combinaison linéaire finie de vecteurs ?
Oui !
Que l'on soit dans un Hilbert ou ailleurs, vect{ei, i dans N} est l'ensemble des combinaisons linéaires finies des e_i ... même si l'ensemble {ei, i dans N} est infini !
(certains disent que la famille des coefficients est presque nulle)
A ne pas confondre avec l'adhérence de vect{ei, i dans N}.
bref, je suis d'accord avec Joker62
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silent_james
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par silent_james » 05 Nov 2008, 23:46
Ok, maintenant c'est clair.
Merci à vous deux en tout cas :happy2:
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