Convergence faible et espace de Hilbert

[kazeriahm]

L'espace H^1 en question est un des espaces de Sobolev, espaces majeurs dans la théorie des équations aux dérivées partielles et (du coup) la théorie des distributions.

Une autre façon de le définir est de le regarder comme l'espace des fonctions de L² dont les dérivées (au sens des distributions = coincide avec la dérivée usuelle sur les fonctions dérivables et permet de dériver "n'importe quelle" fonction) sont encore dans L².

Il y a équivalence avec la définition que tu donnes :

si f et f' sont dans L², on peut calculer leur coefficients de Fourier, et c^n(f')=i*n*c_n(f), donc en passant au carré et ajoutant c_n(f)^2 plus petit coup de Parseval, on voit que...

[Azuriel]

Euh je ne vois pas où ça me mene.

Il n'y a pas une façon simple de prouver que l'espace est complet... En utilisant le fait que L² est complet par exemple ?

[Azuriel]

Bon j'ai peut etre reussi. Dites moi si le raisonnement ci dessous fonctionne :

Soit (fn) une suite de cauchy appartenant a H1.

On a donc par definition, pour tout epsilon>0, l'existence de N tel que pour tout p>q>N, NormeH1(fp-fq) < epsilon

C'est equivalent a Sum (1+|k|²) |Ck(fp)-Ck(fq)|² < epsilon

equivaut a pour tout k, |Ck(fp)-Ck(fq)|² < epsilon/k² (1) (bon le k est tjs avec des valeurs absolue mais j'arrete de le noter)

On a donc puisque L² est complet, (Ck(fn)) est une suite qui converge dans L²vers Ck(f)
Or maintenant qu'on sait que la limite existe on a d'apres (1)

|Ck(fp)-Ck(fq)|² = o(1/k²) et cela nous donne d'apres l'inégalité triangulaire et puisque que tout Ck(fn)²=o(1/k²) (car fn dans H1) => |Ck(fp)|²=o(1/k²) donc en passant a la limite sur p, Ck(f) est un petit o de 1/k² également.

Donc f appartient a H1 (on peut changer somme et limite car on a convergence normale de la somme des Ck*e^ikx) et donc la suite (fn) converge vers f dans H1.

Donc H1 est complet.

[kazeriahm]

Euh je ne vois pas où ça me mene.

Mon intervention n'était pas sensé t'apporter une réponse mais je trouve quand même intéressante de savoir d'ou viennent les choses

[Azuriel]

Ah oui d'accord ! Je croyais que c'étais censé repondre directement a la question, au temps pour moi ;).

Mon raisonnement est correct sinon ?

[kazeriahm]

Oui ca me semble bien.