Je suis sur un DM permettant de découvrir par nous meme les convergence faible dans un espace de Hilbert et je bloque à une question.
Je vous résumé ce que j'ai prouver jusqu'a maintenant.
Pour rappel, voici le cadre du probleme et la definition de la convergence faible :
On est dans H, un espace de Hilbert separable de dimension infinie muni d'un produit scalaire.
la définition de la convergence faible d'une suite (un)n sur un espace de Hilbert H s'écrit:
J'ai tout d'abord montré que si la limite faible existe alors elle est unique.
J'ai ensuite montrer que la convergence "classique" de (fn) vers f dans H impliqué la convergence faible.
En raisonnant sur {ej} (une base hilbertienne de H), j'ai montré que la suite que la boule unité de H n'est pas compacte car la suite (ej) n'admet aucune sous suite convergente.
Ensuite j'ai montrer a travers quelques questions que pour toute suite bornée (fn), il existe une sous suite qui converge faiblement vers un element f de H.
On arrive enfin a la question qui me pose problème :
"Soit (fn) une suite qui converge faiblement vers f dans H. Comparer lim inf|fn| et |f| (les crochets | | representant la norme). Que se passe t'il si lim |fn|=|f|."
J'ai réussi la derniere partie qui est facile puisqu'on se rend compte en developpant |fn-f|² que la convergence faible + lim |fn|=|f| implique la convergence classique dans H.
Ce qui me pose problème c'est la partie en crochet. Je ne comprends pas ce que represente l'inf de la limite deja et je ne vois vraiment pas comment faire. Merci de m'aider !
