Base de Hilbert

[silent_james]

Bonjour,

J'ai une question vraiment stupide mais qui me bloque pr les preuves...
Si {ei} est une base de Hilbert de H alors par définition l'adhérence de "vect{ei} avec i dans N" est égale à H (N entiers naturels).
Si u appartient à vect{ei, i dans N} alors est-ce que u est la somme de j=0 à l'infini de aj*ej ou u est la somme de j=0 à un certain M entier naturel ?

Merci.... si quelqu'un ose me répondre lol

[Joker62]

Haileau

Si on a un Hilbert H qui admet une base ( Pas dans le sens algébrique mais bien dans le sens d'une suite totale dans H ) alors tout éléments x de H peut s'écrire comme somme d'une série de terme général a_i . u_i

Maintenant pour le reste il vaut mieux choisir cette base orthonormée, ce qui nous donne pas mal de jolies formules ( En sachant que tout espace de Hilbert séparable admet une base orthonormée )

[silent_james]

Je te remercie Joker62, mais en fait ma question portait sur un problème de compréhension de la définition de vect{ei}.
si u appartient à vect{ei, i dans N} alors est-ce u s'écrit comme une série ou comme une somme de série ?

[Joker62]

Tout x de H s'écrit comme somme d'une série.

x = Sum(k=0..infini) a_k . u_k
pour des certains a_k

[silent_james]

Oui ça j'ai compris lool mais ça ne répond pas à ma question...

[silent_james]

Sans parler d'espace H de Hilbert, si u est dans vect{ei, i dans N},
Est-ce que u est une combinaison linéaire finie de vecteurs ?

[Joker62]

Bah ça répondais parfaitement à ta question :D

Dans le cas des espaces Vectoriel, un vect d'une famille, c'est une combinaison linéaire des éléments de la famille, donc c'est une somme finie, et c'est pas une Série.

[silent_james]

Donc {ei, i appartenant à N} est bien une famille finie, merci ;)

[Joker62]

Bah non :^)
N n'est pas fini :^)

[silent_james]

Donc tu te contredis lool

[leon1789]

oula... :zen:

Sans parler d'espace H de Hilbert, si u est dans vect{ei, i dans N},
Est-ce que u est une combinaison linéaire finie de vecteurs ?

Oui !
Que l'on soit dans un Hilbert ou ailleurs, vect{ei, i dans N} est l'ensemble des combinaisons linéaires finies des e_i ... même si l'ensemble {ei, i dans N} est infini !
(certains disent que la famille des coefficients est presque nulle)

A ne pas confondre avec l'adhérence de vect{ei, i dans N}.

bref, je suis d'accord avec Joker62

[silent_james]

Ok, maintenant c'est clair.
Merci à vous deux en tout cas :happy2: