Structures algébriques

[abicah]

Bonjour,

Voici l'exercice :

Soit (G, . ) un groupe .

a)Montrer que l 'ensemble des automorphismes de G, muni de la loi o, est un groupe , noté Aut(G).

b)Soit H un sous-groupe de Aut(G) et Phi: G--->P(G) qui à x associe {f(x) , f appartenant à H};
(Phi est appelé l' orbite de x sous H ).Vérifier que Phi((G) est une partition de G.

Voici La solution de b) :
-Pour tout x appartenant à G , x appartient à Phi(x) donc Phi(x) n'est pas vide.

--Si Phi(x) Inter Phi(y) différent de l 'ensemble vide , il existe (f, g) appartenant à HxH tel que f(x)=g(y), d'ou y=(g^-1 o f)(x) appartient à Phi(x) car g^-1 o f appartient à H.
On en déduit Phi(x)=Phi(y).

Comment déduit on que Phi(x)=Phi(y) ?

Merci

[abicah]

Je viens de trouver merci

Pour ceux que ca intéresse :

Soit t appartient à Phi(x), il existe donc f appartenant à H tel f(x)=t. Or y appartient à Phi(x),il existe donc g appartenant à H tel que g(x)=y. on en déduit que x=f^-1(t)=g^-1(y) donc t=(f o g^-1)(y) appartient à Phi(y).
Conclusion Phi(x) c Phi(y) et par symétrie des rôle de x et y on en déduit Phi(x)=Phi(y)