[MPSI] Structures algébriques

[Anonyme]

Voilà un exercice qui me semble assez simple mais dont je ne trouve pas
la solution finale

Soit A un anneau et x un élement de A tel que (1-x) est nilpotent.
Montrer que x est inversible et si x' est son inverse, montrer que
(1-x') est nilpotent

Il est assez simple de montrer que x est inversible

en effet,
(1-x) est nilpotent ie il exsite n tel que (1-x)^n = 0

on a : 1-(1-x)^n = x*sum((1-x)^k,k=0..(n-1)) (on peut utiliser cette
formule car 1 et (1-x) commutent bien)

ie 1=x*sum((1-x)^k,k=0..(n-1))
x est donc inversible et x'=sum((1-x)^k,k=0..(n-1))

Comment montrer que 1-x' est nilpotent ?

Merci

[Anonyme]

"Ramier" a écrit dans le message de
news:41681317$0$6263$636a15ce@news.free.fr...
> Voilà un exercice qui me semble assez simple mais dont je ne trouve pas
> la solution finale
>
> Soit A un anneau et x un élement de A tel que (1-x) est nilpotent.
> Montrer que x est inversible et si x' est son inverse, montrer que
> (1-x') est nilpotent
>
> Il est assez simple de montrer que x est inversible
>
> en effet,
> (1-x) est nilpotent ie il exsite n tel que (1-x)^n = 0
>
> on a : 1-(1-x)^n = x*sum((1-x)^k,k=0..(n-1)) (on peut utiliser cette
> formule car 1 et (1-x) commutent bien)
>
> ie 1=x*sum((1-x)^k,k=0..(n-1))
> x est donc inversible et x'=sum((1-x)^k,k=0..(n-1))
>
> Comment montrer que 1-x' est nilpotent ?
>
> Merci

en utilisant 1-x' = -x' ( 1-x ) ?

Comme 1, x et x' commutent ...


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Psyko Niko