Deux questions sur les morphismes de groupes

[LARSSON14]

Bonjour à tous,
Pourriez-vous m'aider à résoudre ces deux questions :
Soient G un groupe fini et f : G=>G un morphisme.
On note: A := {g ∈ G | f(g) = g^-1} et B= {g ∈G | f²(g) = g}
1-
On suppose que G est fini et |A|>|G|/2 . Montrer que B = G

2-
On suppose que maintenant que G est un groupe fini d’ordre pair, |A|=|G|/2 , et que f est un automorphisme de G.
Montrer que si B != G, tout élément g ∈ G\B vérifie
f(g) = gb, où b est un élément de B. En déduire alors que f²(g) = g.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider ?

Bien sûr, si tu commences par dire ce que tu as essayé.

[LARSSON14]

Pour montrer que B = G, nous devons démontrer que tout élément g de G appartient à B. Puisque |A| > |G|/2, cela signifie qu'il existe plus d'éléments g dans G tels que f(g) = g^-1 que d'éléments pour lesquels f(g) ≠ g^-1.

Prenons un élément g de G. Nous devons montrer que f²(g) = g. Considérons l'élément h = f(g). Puisque f(g) = g^-1 pour les éléments de A, cela signifie que h = g^-1 pour certains éléments de G. Par conséquent, nous avons f(h) = (g^-1)^-1 = g.

Maintenant, nous devons montrer que f²(h) = h. Puisque f(h) = g et que f²(g) = g (puisque g est un élément de G), nous avons f²(h) = f(f(h)) = f(g) = h.

Cela montre que pour tout élément g de G, f²(g) = g.
Par conséquent, B = G.

[Ben314]

Salut,

Montrer que si B != G, tout élément g ∈ G\B vérifie
f(g) = gb, où b est un élément de B.

Vu que j'ai été sec un petit moment pour cause de mauvaise compréhension de l'énoncé, je précise que le b dont il est question ici dépend de g.
Perso., en lisant la phrase, j'avais cru que c'était le même b pour tout les g et, forcément, j'avais un peu de peine à conclure . . .

[Ben314]

Salut,

Prenons un élément g de G. Nous devons montrer que f²(g) = g. Considérons l'élément h = f(g). Puisque f(g) = g^-1 pour les éléments de A, cela signifie que h = g^-1 pour certains éléments de G. Par conséquent, nous avons f(h) = (g^-1)^-1 = g.

Hummmm.
Oui, à condition que g fasse parti des "certains éléments" qui marchent bien et que h aussi . . .

Et sinon, ça ne te perturbe pas plus que de raison de n'avoir utilisé nulle part le fait que card(A)>card(G)/2 ?

Sinon, pour ne pas faire que critiquer (mais là, faut bien dire que ta "preuve", elle vaut son pesant de cacahuètes !!!), vu que tu est dans un groupe, ben faudrait peut-être penser à utiliser un peu de théorie des groupes, non ?
Par exemple, on pourrait se demander si A et/ou B ne seraient pas, à tout hasard, des sous groupes de G.

P.S. : y'a un peu beaucoup redite avec le message de GaBuZoMeu qui a tapé en même temps . . .

[GaBuZoMeu]

Ton argument ne marche pas.

Puisque tu as deux ensembles A et B, il serait bon de réfléchir au rapport entre eux. Est-ce que par hasard l'un serait inclus dans l'autre ?
Et puis, B n'est-il pas une partie un peu spéciale du groupe G ?

[LARSSON14]

l'ensemble A est inclus dans l'ensemble B
Pour g appartient à A,
f²(g)=f(f(g))=f(g^-1)=g

[Ben314]

Pour g appartient à A,
f²(g)=f(f(g))=f(g^-1)=g

g^-1 est dans A ?
Si oui, pourquoi ?

[LARSSON14]

f(g)^-1=f( g^-1) (f est un morphisme de groupes)

[GaBuZoMeu]

Bon Ben, je te laisse

[Ben314]

f(g)^-1=f( g^-1) (f est un morphisme de groupes)

OK donc A est contenu dans B.
Ensuite, A est un sous groupe ? B est un sous groupe ?

[LARSSON14]

B oui:
f²(a * b) = f(f(a * b)) = f(f(a) * f(b)) = f(a) * f(b) = a * b. Donc, a * b ∈ B et B est fermé par multiplication.
f²(e) = f(f(e)) = f(e) = e. Donc, l'élément neutre e de G appartient à B.
Pour tout élément a ∈ B, cela signifie que f²(a) = a. Puisque f²(a) = a, cela implique que a est son propre inverse, . Par conséquent, a⁻¹ ∈ B.
A je crois non :
f(a * b) = f(a) * f(b) = a⁻¹ * b⁻¹ != b⁻¹*a⁻¹

[Ben314]

C'est bon sauf ça :

Puisque f²(a) = a, cela implique que a est son propre inverse.

???

[LARSSON14]

Je crois je me suis trompé
Pouvez vous me dire comment prouver que l'inverse appartient à B?

[Ben314]

Même chose que, par exemple pour le produit :
Si x est dans B alors f^2(x^-1) = (f^2(x))^-1 [car f^2 morphisme] = x^-1 [car x dans B] donc x^-1 est dans B

[LARSSON14]

Oui c'est clair. Alors qu'est ce qu'il faut montrer ensuite pour répondre au question principale?

[Ben314]

Pour la 1), c'est quasi fini.
Que peut tu dire du cardinal de B :
1) Du fait de l'hypothèse concernant A.
2) Du fait que c'est un sous groupe de G.

Pour la 2), il faut commencer par reprendre le raisonnement de la 1) pour en déduire que B=...
Puis regarder ce qu'on peut dire des produit gh en fonction de si g et h appartiennent ou pas à B (le produit est il dans B ou pas ?). Cette partie là, peut être l'a tu déjà faite dans un autre exo. ou en cours ("sous-groupe d'indice 2", ça te dit quelque chose ?)