Groupes - morphismes

[Doraki]

Un ensemble muni de deux loi de compositions et est appelé anneau unitaire si et seulement si :
- est un groupe abélien ;
- admet un élément neutre ;
- est distributive par rapport à .

et * est associative.

Alors, est-ce que ton (E,+,*) vérifie ces conditions ?
Comme + et * sont les restrictions à E des lois + et * de M2(R), qui forment un anneau, t'as pas besoin de vérifier leur associativité/distributivité/commutativité.

E admet-il un élément neutre pour + ? pour * ?
Etant donné un élément quelconque de E, est-ce qu'il a un opposé pour + dans E ?

[capitaine nuggets]

et * est associative.

Alors, est-ce que ton (E,+,*) vérifie ces conditions ?
Comme + et * sont les restrictions à E des lois + et * de M2(R), qui forment un anneau, t'as pas besoin de vérifier leur associativité/distributivité/commutativité.

E admet-il un élément neutre pour + ? pour * ?
Etant donné un élément quelconque de E, est-ce qu'il a un opposé pour + dans E ?

Si on n'a pas besoin de les montrer, on doit quand même les citer ?
+ admet la matrice carrée nulle d'ordre 2 pour élément neutre dans ;
x admet la matrice identité pour élément neutre dans .

Soit . L'inverse de dans pour est .

[Doraki]

T'as bien vérifié que la matrice nulle, la matrice identité, et la matrice -M pour M quelconque dans E, sont dans E ? Tu peux préciser les paramètres a et b qui leur correspondent ?

[capitaine nuggets]

Comme + et * sont les restrictions à E des lois + et * de M2(R), qui forment un anneau, t'as pas besoin de vérifier leur associativité/distributivité/commutativité.

Ce n'est pas la peine de le vérifier tout court ou parce que cela est stipulé dans l'énoncé ?

Non, je n'avais pas vérifié : merci pour cette précision :++:

;

; .

Soit . admet une matrice opposée pour l'addition usuelle si et seulement si :
tel que .

Je ne sais pas si je dois utiliser une seule ou deux des deux égalités et pour montrer que

[Doraki]

Ben il faut toujours le préciser. Mais ici comme c'est en effet un sous-anneau de M2(R) on profite du fait (supposé connu ? enfin t'as eu l'idée donc je suppose que oui) que (M2(R),+,*) est un anneau pour en déduire que les opérations sont associatives/distributives/etc.

Aussi, quand la loi est notée +, "l'inverse" pour + est plutôt appelé l'opposé, et surtout au lieu de le noter M^-1 on le note -M.
M^-1 c'est pour désigner l'inverse pour *, s'il existe.

-M est l'opposé de M ça veut donc dire que -M + M = l'élément neutre pour +.

L'élément neutre pour * n'a absolument aucune raison d'être impliqué d'une quelconque façon dans la propriété "inverse pour la loi + de l'élément M".