Intégrales suites

[Helenedupain]

Bonjour
On définit la suite (I[sub]n[/sub]) par I[sub]0[/sub] =[tex]\int_0^1\sqrt{1-t^2}dt[/tex] et I[sub]n[/sub]=[tex]\int_0^1t^n\sqrt{1-t^2}dt[/tex] pour tout n€IN
1)on pose f(x)=[tex]\int_0^{cosx }\sqrt{1-t^2}dt[/tex] pour tout x€IR
a)Montrer que f est derivable sur IR puis calculer f'(x)

b) Déterminer f(x) pour x€[[tex]0; \frac{\pi}{2}[/tex]] puis en déduire la valeur de I[sub]0[/sub]

c) Interpréter graphiquement l'integrale I[sub]0[/sub] et retrouver sa valeur

2)a) Montrer que la suite (I[sub]n[/sub])est décroissante et minoré. Que peut-on en deduire ?

b) Montrons que pour tout n€IN ; 0<=I[sub]n[/sub]<=[tex]\frac{1}{n+1}[/tex] puis en déduire lim(I[sub]n[/sub]) en +oo

3)a) calculer I[sub]1[/sub]

b) À l'aide d'une intégration par parties , montrer que pour tout n€IN ; I[sub]n+2[/sub]=[tex]\frac{n+1}{n+4}I_n[/tex].

c) Montrer que pour tout n€IN ;
[tex]\frac{n+1}{n+4}[/tex]<=[tex]\frac{I_{n+1}}{I_n}[/tex]<=1 puis calculer lim([tex]\frac{I_{n+1}}{I_n}[/tex]) en +oo

4)a)Montrer par récurrence que pour tout n€IN ; I[sub]n[/sub]*I[sub]n+1[/sub]=[tex]\frac{\pi}{2(n+1)(n+2)(n+3)}[/tex]

b) prouver que lim(n[tex]\sqrt{n}I_n[/tex])=[tex]\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/tex]

5) Montrer que [tex]I_{2n}=\frac{(2n)! \pi}{2^{2n+2}n ! (n+1)! }[/tex] et en déduire l'expression de I[sub]2n+1[/sub]
Pouvez vous me donner des indices pour ses questions ?

[Helenedupain]

Bonjour
On définit la suite (I[sub]n[/sub]) par I[sub]0[/sub] = et I[sub]n[/sub]= pour tout n€IN
1)on pose f(x)= pour tout x€IR
a)Montrer que f est derivable sur IR puis calculer f'(x)

b) Déterminer f(x) pour x€[] puis en déduire la valeur de I[sub]0[/sub]

c) Interpréter graphiquement l'integrale I[sub]0[/sub] et retrouver sa valeur

2)a) Montrer que la suite (I[sub]n[/sub])est décroissante et minoré. Que peut-on en deduire ?

b) Montrons que pour tout n€IN ; 0<=I[sub]n[/sub]<= puis en déduire lim(I[sub]n[/sub]) en +oo

3)a) calculer I[sub]1[/sub]

b) À l'aide d'une intégration par parties , montrer que pour tout n€IN ; I[sub]n+2[/sub]=.

c) Montrer que pour tout n€IN ;
<=<=1 puis calculer lim() en +oo

4)a)Montrer par récurrence que pour tout n€IN ; I[sub]n[/sub]*I[sub]n+1[/sub]=

b) prouver que lim(n)=

5) Montrer que et en déduire l'expression de I[sub]2n+1[/sub]
Pouvez vous me donner des indices pour ses questions ?

[aviateur]

Bonjour
Pour le 1. La fonction est continue sur [-1,1] donc admet une primitive notée H définie sur [-1,1]. On peut calculer F mais je n'ai pas encore lu le sujet entier alors on peut attendre pour l'instant.
Ecrire alors f(x) avec la fonction H....
pour le 1b, 1 c l'indication suffit.

[Helenedupain]

J'ai pas du tout compris

[aviateur]

J'ai pas du tout compris

Alors voila en détail
On pose H est la primitive de la fonction définie sur [-1,1]
Alors par définition f(x)=H(cos(x))-H(0)=H(cos(x)) qui une fonction bien définie sur puisque pour tout x ds R cos(x) appartient au domaine de définition de H.
D'autre part f est dérivable sur R (composée de fonction dérivables) et de plus f'(x)=-sin(x)H'(cos(x))=-sin(x)h(cos(x))=.....
remplacer h par son expression, simplifier puis continuer....

[Helenedupain]

si g est la primitive de
Alors f(x)=g(cosx)-g(0)
f'(x) =g'(cosx)-g'(0)= -1

[aviateur]

Non, il y 2 erreurs ds ce que tu écris:
d'abord
Puis (ce que j'ai déjà donné par ailleurs)

[Helenedupain]

f(x)= si g est la primitive de f
J'ai écris que
Mais vous vous avez dit que f(x)=g(cosx)-g(cos0) vous avez fait comment

[aviateur]

Ok je me suis trompé pour cette cste (je n'ai pas le sujet sous les yeux quand j'écris)
C'est bien g(0) mais de toute façon ensuite ça devient bon puisque g(0) est une constante qui disparait quand on dérive.

[Helenedupain]

Donc c'est vrai ce que j'avais fait f'(x) =g'(cosx) =

Ou bien j'ai oublié un truc ?

[Helenedupain]

Soit g la primitive de
f(x)= si g est la primitive de f

f'(x) =g'(cosx)-g'(0)=
C'est correct la ?

[aviateur]

Bonjour
L'expression de f est correcte mais pas l'expression de g. Est-ce une faute de frappe?
De toute façon as-tu le niveau de base pour faire cet exercice?
En effet connais-tu l'expression de la dérivée de u(v(x))? (en admettant que u et v sont dérivables)

[Helenedupain]

J'ai pas mal de choses à votre absence
1a)
Soit g [rouge]une[/rouge] primitive de

f'(x)=(g(cosx))'-(g(0))'==-sinx|sinx|

b)
Or f(π/2)=0
=>

C) l'intégral I[SUB]0[/SUB] est l'aire du quart du cercle de rayon 1 or l'air d'un quart de cercle égal &#960;*r[SUP]2[/SUP]/4
Donc I[SUB]0[/SUB]=&#960;/4
2)a)I[sub]n+1[/sub]-I[sub]n[/sub]=
Sur [0; 1] donc I[sub]n+1[/sub]-I[sub]n[/sub]<=0 donc la (I[sub]n[/sub]) est décroissante

[Helenedupain]

Donc Pour démontré que la suite (In) est minoré je peux procédé de la même façon
J'ai sur [0; 1] (1) et (2)
En faisant le produit (1)et(2) on à
Donc la suite In est minoré par 0

[Helenedupain]

Pour la question 2.b
J'essaie de démontrer l'inégalité mais j'arrive pas
√2<=<=0
0<=<=1
En faisant le produit je ne trouve pas les inégalités à démontré