Aide corrigé examen chapitle DL

[mohamedjerbi]

arctan(u)=u-u^3/3+o(u^3) quand u->0
posons u=1/x, quand x tend vers +oo, u tend vers 0+

rédige plutôt avec x que u comme variable

en +oo, on a
f(x)=x²(1/x-1/3x^3+o(1/x^3))=x-1/3x+o(1/x)

par identification
a=1
b=0
c=-1/3
non {
lim f(x)=0 donc f admet une asymptote au v de +infinie equation
x-+infinie symbole de delta :y=0}

lim f(x)-x=0 en +oo
donc f admet en +oo la droite delta d'équation y=x comme asymptote

c=-1/3
le terme dominant suivant le "ax+b" est-il négatif ou positif ?
f s'écrit donc x + quelque chose de .....
donc f est donc ...... de y=x

f(x)=x-1/3x
il y a 1 et -1/3 qui est le ddominant?...
f s'écrit x -1/3x => -1/3x de y=x???

[pascal16]

lim g(x)= ?
x->+infinie
lim 2arctan(1/x)=0
x->+infinie
lim x²/1+x²=lim 1/(1/x²)+1=lim 1 / lim 1/x²+1=1/1=1 <- d'où sourt le x² en haut
x->+infinie
lim g(x)=0-1=-1
x->+infinie

le correcteur va pas aimer cette rédaction avec un "?" très "collège", et as-tu vérifié en traçant la courbe ?

lim 2arctan(1/x)=0 car 1/x tend vers 0 quand x tends ver +oo
x->+infinie

lim x/1+x²= 0 car le polynôme de degrés le plus haut est au dénominateur.
x->+infini

par composition de limites, la limite de g en +oo est 0

[pascal16]

f(x)=x-1/3x

donc f(x) sécrit x + qqchose de négatif, elle est en dessous de la droite y=x.

sinon, tu dis simplement f(x)-x est négatif au voisinage de +oo, f est en dessous de la droite y=x

[pascal16]

g'(x)=-2/1+x²-2x/(1+x²)²

après mise sous même dénominateur, on a g'(x) = -(3+x²)/(1+x²)²
le signe est assez évident sur ]0;+oo[
on place pi et 0 sur le tableau de variation
on place la limite en 0+ et +oo de g
une petite rédaction sur la décroissance stricte pour justifier de la positivité de g et hop, 4c finie

NB [edit : corrigé], hors questions demandées : g est impaire, sa limite est pi en 0+ mais -pi en 0-, elle n'est y pas du tout continue donc non dérivable. C'est dans ce genre de cas qu'il faut faire gaffe, g'(x) = -(3+x²)/(1+x²)² est parfaitement définie en 0, comme son DL.

[mohamedjerbi]

Merci pour ton aide

[pascal16]

ct sympa car tu as bien joué le jeu aussi.
c'est comme ça qu'on progresse, on se pose les bonnes questions et ça sera encore plus facile le prochaine fois


hors sujet : f(0)=0 et limite f(x)-x = 0 en +oo
on pourrait même chercher l'écart maximal en f(x) et x, c'est à dire étudier f(x)-x qui atteint au moins un maximum sur [0;+oo[

[pascal16]

lim g(x)=lim 2arctang(1/x) -lim x/1+x² =pi-0=pi
x->0+ x-0+

petit point sur la composition de limite :
si f et g admettent une limite en a, alors f+g en admet une, c'est la somme de chacune des limites

dire lim(f+g)=lim(f)+lim(g) est un abus de langage.
c'est vrai si 2 des limites sur les 3 existet, et on peut ajouter certains cas de limite généralisées ensuite.

mais :
soit f(x)=1/x, g(x)=-1/x f(0)=0, g((0)=0
les limites de f et g n'existent pas en 0 alors que f+g admet elle une limite
on a donc pas une égalité mathématique stricte entre lim (f+g) et lim(f)+lim(g)

Conclusion
la rédaction :
lim(f)=...
lim(g)= ...
(on a trouvé des limites finies ou pas mais qui marchent) donc lim (f+g )=...
est passe partout sans écrire d'erreur mathématique.

NB [edit : corrigé], hors questions demandées : g est impaire, sa limite est pi en 0+ mais -pi en 0-, elle n'est y pas du tout continue donc non dérivable. C'est dans ce genre de cas qu'il faut faire gaffe, g'(x) = -(3+x²)/(1+x²)² est parfaitement définie en 0, comme son DL.