Aide pour resoudre des problemes d'examen

[Anonyme]

je n'ai pas l'impression que tu te creuses vraiment la tête.
Tu es en train de faire faire tout ton devoir par d'autres et c'est pas une solution...

[Alpha]

Salut,

normalement, pour les congruences, en traitant les "équations" de congruence 2 à 2, on obtient à chaque fois une équation diophantienne dont on trouve l'ensemble des solutions... Je pense qu'on doit pouvoir s'en tirer comme ça, en tout cas c'est une piste à exploiter, mais personnellement je n'ai pas essayé de le faire.

:happy3:

[palmade]

Les quatre congruences ont des modules premiers entre eux deux à deux
x-1 est divisible par 48 et x-2 par 55 donc 55(x-1)-48(x-2)=7x+41 est divisible par 55*48=2640. Reste à trouver un nombre congru à 41 modulo 240, divisible par 7: 2640+41=2681=383*7 convient
Donc x=383 (mod 2640)

[Anonyme]

Je remets le sujet ou j'ai besoin d'aide

Salut,
j'ai besoin d'aide sur ce probleme

Soit n un entier. On appelle composition de n toute suite finie () d'entiers strictements positifs dont la somme fait n.
Les entiers sont appelés parts de la composition , p est la longueur de la composition.
Par exemple (4, 2, 3), (3, 2, 4) et (4, 4, 1) sont trois compositions de 9 de longueurs 3. Soit le nombre de composition de n de longueur p. On se gardera de confondre avec le coefficient binomial .

1)Calculer pour n et p inférieur ou égal à 4.

2)Montrer que le nombre de compositions de n de longueur p et dont la première part est 1 est égal au nombre de compositions de n-1 de longueur p-1 .

3)Montrer que le nombre de compositions de n de longueur p et dont la première part est différente de 1 est égal au nombre de compositions de n-1 de longueur p.

4)Soit la série génératrice


Montrer que

5)En déduire que:


6)Montrer que le coefficient de dans f(z,t) est égale à . Indication : Écrire f(z,t) sous la forme


Merci d'avance a ceux qui répondront

Bonjour
Pour les dénombrements :
Si la première part est 1, il reste p-1 nombres de somme n-1, ce qui est bien .
Si la première part est strictement supérieure à 1, en lui enlevant 1 j'obtiens une décomposition de n-1 en p parts, soit (la réciproque est évidente)
On a donc pour n > 1 , la même relation de récurrence que les combinaisons.
En revanche, , , et
Essayons d'écrire une relation de récurrence


Compte tenu de , et en changeant les indices, j'obtiens

Soit et la formule proposée doit s'en déduire
Pour , on a une somme de série géométrique au facteur z près.
Pour la question 6, la forme proposée me semble bizarre.Je fais les calculs et j'arrive

Salut,
Galt ,je voudrais savoir si tu as réussi à faire la question 6.
Si,ce n'est pas le cas est-ce que quelqu'un sait comment si prendre.

[palmade]

Si tu as fait la question 5, tu t'es aperçu d'une erreur dans l'énoncé que tu as transcrit: dans le dénominateur de f(z,t) , t est en facteur et non en exposant de (1+z); en d'autre termes,
f(z,t)=zt/(1-(1+z)t)=(zt/(1-t))/(1-zt/(1-t)) soit x/(1-x) avec x=zt/(1-t)
Il n'y a plus qu'à developper la série entière x/(1-x) de terme général x^n
n de 1 à l'infini...

[Anonyme]

Si tu as fait la question 5, tu t'es aperçu d'une erreur dans l'énoncé que tu as transcrit: dans le dénominateur de f(z,t) , t est en facteur et non en exposant de (1+z); en d'autre termes,
f(z,t)=zt/(1-(1+z)t)=(zt/(1-t))/(1-zt/(1-t)) soit x/(1-x) avec x=zt/(1-t)
Il n'y a plus qu'à developper la série entière x/(1-x) de terme général x^n
n de 1 à l'infini...

Je ne comprends pas ce que tu dis.
Est-ce que ce que la question 4 est bonne,et comment faire le reste?
Ce que tu as écrit répond a quelle question?
Merci de me répondre

[palmade]

Il me semble que le message de Galt (#16) répondait à la question 4 (ou presque puisqu'il donne une relation de récurrence multiplicative)
Mon message précédent indique qu'alors la question 5, en sommant la série de terme général z(1+z)^(n-1)t^n on obtient zt/(1-(1+z)t)
Je donne ensuite la solution de la question 6 que tu réclamais à cors et à cris!

[Anonyme]

Je remets le sujet ou j'ai besoin d'aide

Salut,
j'ai besoin d'aide sur ce probleme

Soit n un entier. On appelle composition de n toute suite finie () d'entiers strictements positifs dont la somme fait n.
Les entiers sont appelés parts de la composition , p est la longueur de la composition.
Par exemple (4, 2, 3), (3, 2, 4) et (4, 4, 1) sont trois compositions de 9 de longueurs 3. Soit le nombre de composition de n de longueur p. On se gardera de confondre avec le coefficient binomial .

1)Calculer pour n et p inférieur ou égal à 4.

2)Montrer que le nombre de compositions de n de longueur p et dont la première part est 1 est égal au nombre de compositions de n-1 de longueur p-1 .

3)Montrer que le nombre de compositions de n de longueur p et dont la première part est différente de 1 est égal au nombre de compositions de n-1 de longueur p.

4)Soit la série génératrice


Montrer que

5)En déduire que:


6)Montrer que le coefficient de dans f(z,t) est égale à . Indication : Écrire f(z,t) sous la forme


Merci d'avance a ceux qui répondront

Bonjour
Pour les dénombrements :
Si la première part est 1, il reste p-1 nombres de somme n-1, ce qui est bien .
Si la première part est strictement supérieure à 1, en lui enlevant 1 j'obtiens une décomposition de n-1 en p parts, soit (la réciproque est évidente)
On a donc pour n > 1 , la même relation de récurrence que les combinaisons.
En revanche, , , et
Essayons d'écrire une relation de récurrence


Compte tenu de , et en changeant les indices, j'obtiens

Soit et la formule proposée doit s'en déduire
Pour , on a une somme de série géométrique au facteur z près.
Pour la question 6, la forme proposée me semble bizarre.Je fais les calculs et j'arrive

Salut,
est ce que quelqu'un pourrait me détailler les calculs fait à partir de la question 4 car en essayant de les refaire,je n'arrive pas à trouver les résultats.
Merci d'avance

[palmade]

Je pensais être clair, mais je détaille...
Galt a abouti à fn=(1+z)f(n-1) et comme f1=z, fn=z(1+z)^(n-1): voilà pour la question 4!
question 5: la série de terme général fn*t^n=(zt)*(t(1+z))^(n-1) est au facteur zt près, une série géométrique y^(n-1) avec y=t(1+z), qui part de n-1=0; sa somme est donc zt*(1/(1-y))=zt/(1-t(1+z))
question 6:1-t(1+z)=1-t-zt=(1-t)(1-zt/(1-t)
donc f(z,t)=zt/(1-t(1+z))=(zt/(1-t))/(1-zt/(1-t)) soit x/(1-x) avec x=zt/(1-t)
qui est égal à la somme à partir de n=1 de la série x^n soit (zt/(1-t))^n
Le coefficient de z^n est donc (t/1-t))^n
cqfd

[Anonyme]

Je pensais être clair, mais je détaille...
Galt a abouti à et comme , : voilà pour la question 4!
question 5: la série de terme général est au facteur zt près, une série géométrique avec , qui part de n-1=0; sa somme est donc
question 6:
donc soit avec
qui est égal à soit
Le coefficient de est donc
cqfd

Merci Palmade pour ces détails et est-ce que j'ai bien mis ce que tu as écrit en écriture mathematiques?

[Anonyme]

Palmade,
tu n'es plus là?

[Anonyme]

le théorème chinois donne la réponse à la question sur les congruences...

[palmade]

OK pour la transcription sauf à la fin de la ligne question 6 où il manquait une parenthèse dans mon écriture; lire (1-t)(1-zt/(1-t)) donc le (1-t) ne divise que zt...
Je sais pas utiliser Tex avec le clavier de mon Powerbook qui est un peu différent des PC...

Pour sept-épées, je ne suis pas sur que Morpheus connaisse le lemme chinois, d'où mon approche plus pragmatique...(il y a une faute de frappe dans le cours de ma solution: lire modulo 2640 et non 240)

[Anonyme]

Les quatre congruences ont des modules premiers entre eux deux à deux
x-1 est divisible par 48 et x-2 par 55 donc 55(x-1)-48(x-2)=7x+41 est divisible par 55*48=2640. Reste à trouver un nombre congru à 41 modulo 2640, divisible par 7: 2640+41=2681=383*7 convient
Donc

Salut,
je voudrais savoir si cette méthode marche lorsque les restes sont tous différents.
par exemple si on a


Si, cette méthode ne marche pas pour le cas que j'ai évoqué est-ce que tu pourrais m'indiquer comment on fait lorsqu'il faut prendre les congruences 2 à 2 avec l'énoncé qui était le suivant.
Trouver le plus petit entier x > 0 vérifiant simultanement les congruences


ps:Palmade ,je te mets un lien,si ça t'interesse, sur une page qui donne tous les symboles mathématiques en tex.Pour ecrire en tex,tu clique sur TEX et tu insere les symboles qu'il faut.
Voici le lien :http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

[Galt]

J'ai répondu à la question sur les restes chinois ici : http://maths-forum.com/showthread.php?p=23849#post23849 dans le cas de deux restes, on recommence pour les suivants.

[Anonyme]

Salut,
je poste un nouvel exercice:

Soit x un nombre. On définit par récurrence la suite par et pour tout n > 0

1)Montrer par récurrence que ;
Voici ce que j'ai fait:
On vérifie la récurrence pour n = 0
et
donc OK
Supposons que la récurrence est vraie pour tout n>0 et démontrons qu'elle est vraie au rang suivant n+1




donc

2)En déduire la valeur de

Pour cette question, j'essaye de calculer

je fais
1) partie gauche du = et 2) partie droite.

1)
Le ? correspond à

2)


Pour X=1


Mais après je ne sais pas comment faire.
De plus ,je voudrais savoir si ma méthode est bonne car elle prend du temps.

[Galt]

Pour calculer , le plus simple est de la réindexer , de la développer . La première est une série géométrique et la seconde s'obtient en posant , de dérivée , comme d'autre part , on calcule et on fait

[Anonyme]

Merci, pour tes réponses Galt.

[Anonyme]

Salut,
je post cet exo
Pour tout entier ,on définit le nième nombre harmonique par :
pour tout
En remarquant que :
pour tout
montrer que
autrement dit que

[Anonyme]

En voici un autre

On appelle le n-ième nombre de Fibonacci :
On rapelle que

1)On définit la suite par
pout tout
Établir une relation de récurence vérifiée par les
Ce que j'ai trouvé
pour tout

2)En deduire que
C'est fait

3)Retrouvez ce résultat en utilisant f(z).
C'est fait

4)Montrez que pour tout entier il existe une suite croissante finie d'insices,telle que :


5)Montrez qu'il y a unicité de la suite si l'on impose
(a)
(b)