Espaces vectoriels supplémetaire

[o2pubcy9]

bonjour si je considère
F=(x,y,z) dans R^3 tel x+y+z=0
G= Vect(1,1,1)
pour montrer que F etG sont supplémentaire je dois montrer que F et G sont en somme directe ou que F inter G = singleton(0(R^3)) et que F+G=R^3 cad tout élément x de R^3 s'écrit tel que x=y+z avec y appartenant à F et z appartenant à G

mais je ne suis pas sur de ma démarche pouvez-vous me montrer comment faire svp ?

[Pseuda]

Oui c'est ça. Prends u(x,y,z) qui appartient à F et G, et montre que u=0. Prends u(x,y,z) quelconque et montre que u=v+w, v dans F, w dans G.

Le 1er n'est pas trop difficile, il faut résoudre le système : x+y+z=0, x=y=z.

Le 2ème, pose aussi les équations, (sauf si tu vois direct la décomposition).

[infernaleur]

Salut, en général pour ce genre d’exo on ne montre jamais que F+G=R^3 mais on montre seulement que FnG={0} car dim(F)+dim(G)=dim(R^3).

[Pseuda]

Salut, en général pour ce genre d’exo on ne montre jamais que F+G=R^3 mais on montre seulement que FnG={0} car dim(F)+dim(G)=dim(R^3).

Je ne dirais pas "jamais". On peut vouloir obtenir par exemple directement la décomposition dans les ss-ev. Il faut avoir déterminé au préalable les dimensions des ss-ev.

[o2pubcy9]

bonjour, j'ai déjà réussi à faire ça sur d'autres exemples mais sur celui ci je bloque pouvez-vous me montrer comment faire svp ?

[pascal16]

F=(x,y,z) dans R^3 tel x+y+z=0
G= Vect(1,1,1)

tu peux poser ((1,1,-2);(1,-1,0);(1,1,1)) comme base de R³.
vérifier que c'est une base (det non nul de la matrice de changement de base)
que les deux premiers engendrent F
F et G sont alors en somme directe