Integration

[nemid]

bonjour :
je voudais savoir comment montrer que cette fonction est integrable (pour la mesure de Lebesgue sur



je sais que l'equivalence en 0 c'est 1/2 mais ...

mercii

[capitaine nuggets]

Salut !

Les problèmes se situent en et en .
Montre que la fonction est prolongeable par continuité en .
Pour , utilise le fait que et majore par une intégrale telle que lorsque converge. Tu auras alors la convergence de

[nemid]

Salut !

Les problèmes se situent en et en .
Montre que la fonction est prolongeable par continuité en .
Pour , utilise le fait que et majore par une intégrale telle que lorsque converge. Tu auras alors la convergence de

merci beaucoupp

[Lostounet]

On va pas calculer l'intégrale? :p C'est plus amusant !
Elle vaut pi/2 par le théorème des résidus.

[nemid]

je ne connais pas le théoreme des résidus .

une autre question svp pour n>=1 ; x>0




je comprends pas pourquoi ça converge sur [0. infini[ pour moi ça converge pas sur ]0 ,1 ]

merciiiii encore

[capitaine nuggets]

Sinon, on peut s'en sortir sans analyse complexe en faisant intervenir une intégrale double, en utilisant Fubini et en connaissant le résultat de l'intégrale de Dirichlet. En remarquant que , on a :

.

Par le théorème de Fubini, en intervertissant les intégrales et en connaissant la valeur de l'intégrale de Dirichlet , on en déduit que le résultat annoncé par Lostounet.

On va pas calculer l'intégrale? :p C'est plus amusant !
Elle vaut pi/2 par le théorème des résidus.

Quel contour prendrais-tu ?

[nemid]

merciiii

[Pythales]

Sans utiliser Fubini ni les résidus, une simple intégration par parties montre que l'intégrale est égale à
Sinon par les résidus, considérer que l'on intègre sur le contour 0,infini, puis sur le demi cercle de rayon infini, puis sur -infini,0 et enfin sur le demi cercle de centre O dont le rayon tend vers 0

Quant à elle s'intégre aussi par les résidus. Le résidu correspondant à est un peu "complexe" à calculer, mais on trouve

[capitaine nuggets]

Sans utiliser Fubini ni les résidus, une simple intégration par parties montre que l'intégrale est égale à

Ouais, c'est pas faux !

Sinon par les résidus, considérer que l'on intègre sur le contour 0,infini, puis sur le demi cercle de rayon infini, puis sur -infini,0 et enfin sur le demi cercle de centre O dont le rayon tend vers 0

Pourquoi considères-tu cette fonction et ce contour ? Pourquoi ne pourrais-t-on pas considérer le même contour mais sans le demi cercle de centre O dont le rayon tend vers 0 ? A savoir :
,, puis sur le demi cercle de rayon infini, puis sur .